Решете уравнението...

[KOPMOPAH]

...което не е чак толкова трудно$$\sin^24x + \cos^2x = 2\sin4x \cos^4x$$

[Davids]

За по-лесно ще положим $a = sin4x \in [-1; 1]$ и $b = cos^2x \in [0; 1]$, след което уравнението придобива по-човешкия вид: $a^2 + b = 2ab^2$
Ще го разгледаме като квадратно за $a$:
$a^2 - 2b^2a + b = 0$
$D = 4b^4 - 4b = 4b(b^3 - 1)$

И за да има решения, трябва $b \in (-\infty; 0] \cup [1; +\infty)$, което, сечено с ДС за $b$ от началото, ни дава само два случая за $b$:
I) $b = 0 \Rightarrow cos^2x = 0 \Rightarrow cosx = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi$
Тогава за $a$ остава $sin4x = 0 \Rightarrow 4x = k\pi \Rightarrow x = \frac{m\pi}{4}$
Решението тук не съм сигурен как трябва да го обединя, но бих казал нещо като: $x = \frac{\pi}{2} + k\pi = \frac{m\pi}{2}$, където $m = 2 + 4k$

II) $b = 1 \Rightarrow cos^2x = 1 \Rightarrow cosx = \pm 1 \Rightarrow x = k\pi$
Тогава за $a$ остава $sin4x = 1 \Rightarrow 4x = \frac{\pi}{2} + 2m\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{8} + \frac{m\pi}{2}$
Окончателно случаят няма решения, тъй като за да има, би следвало коефициентите да са $k = \frac{1}{8} + \frac{m}{2}$, което няма как да е цяло число.

И така... Не знам отново записът ми доколко е коректен, отворен съм за мнения и забележки

[KOPMOPAH]

Има и друг начин: $$\sin^24x + \cos^2x = 2\sin4x \cos^4x \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \sin^24x + \cos^2x - 2\sin4x \cos^4x =0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \sin^24x + \cos^2x - 2\sin4x \cos^4x+\cos^8x-\cos^8x=0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow \sin^24x- 2\sin4x \cos^4x+\cos^8x + \cos^2x-\cos^8x=0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (\sin4x+\cos^4x)^2+\cos^2x(1-\cos^6x)=0$$
Двете събираеми са неотрицателни, следователно стигаме до системата: $$\begin{array}{|l} \sin4x+\cos^4x = 0 \\ \cos^2x(1-\cos^6x) = 0 \end{array}$$
която решаваме по познатите начини