Тъждество за ъгли в триъгълник

[KOPMOPAH]

Да се докаже

$\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \gamma \cos \alpha \sin \beta + \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma + \cos \beta \sin \alpha \sin \gamma=0$

ако $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ са ъгли в триъгълник.

[Евва]

Странно ! Ако [tex]\alpha[/tex],[tex]\beta[/tex],[tex]\gamma[/tex] са съответно 30[tex]^\circ[/tex],60[tex]^\circ[/tex] и 90[tex]^\circ[/tex] ,то изразът няма да е равен на 0.
Аз ли греша ?

[Евва]

Моля те да пратиш правилното условие.Задачата е много приятна .Реших я на 4 реда (4 стъпки) .
Искам да видя как кандидат-студентите ще се справят.

[S.B.]

Да се докаже
$$\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos \gamma \cos \alpha \sin \beta
+ \cos \alpha \sin \beta \sin \gamma + \cos \beta \sin \alpha \sin \gamma=0$$ ако $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$ са ъгли в триъгълник.

Ако допуснем,че има неточност в математическия текст и крайния отговор в преобразуванията е
[tex]sin(\alpha + \beta + \gamma) = sin\pi = 0[/tex], то тогава задачата би била елементарно прилагане на формулите за синус и косинус от сбор на ъгли,което математик от ранга на KOPMOPAH не би предложил на взискателната аудитория на форума.
Може би единствената неточност е,че е заменил "да се провери" с "да се докаже" тъждеството,още повече,че никъде не е упоменато "за всеки триъгълник":
[tex]cos\gamma.sin\alpha.cos\beta + cos\gamma.sin\beta.cos\alpha + sin\gamma.sin\alpha.cos\beta + sin\gamma.sin\beta.cos\alpha =[/tex]
[tex]cos\gamma.sin(\alpha + \beta) + sin\gamma.sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha + \beta).(sin\gamma + cos\gamma) =[/tex]
[tex]sin(\pi - \gamma)[sin\gamma + cos\gamma] = sin\gamma[cos(\frac{\pi}{2} - \gamma) + cos\gamma] =[/tex]
[tex]sin\gamma.2cos\frac{\pi}{4}.cos(\frac{\pi}{4} - \gamma) = \sqrt{2}sin\gamma.cos(\frac{\pi}{4} - \gamma)[/tex]
[tex]\sqrt{2}sin\gamma.cos(\frac{\pi}{4} - \gamma) = 0[/tex]
От условието ,че [tex]\alpha,\beta,\gamma[/tex] са ъгли на триъгълник [tex]\Rightarrow \gamma \ne 0 ,\gamma \ne\pi[/tex] т.е остава,че [tex]cos(\frac{\pi}{4} - \gamma) = 0 \Rightarrow \gamma = \frac{3\pi}{4}[/tex]
Получи се ,че тъждеството при дадените условия е изпълнено само когато [tex]\gamma = \frac{3\pi}{4}[/tex]