Тригонометрично уравнение

[katerinaggeorgieva]

Здравейте, трябва ми малко помощ със следното тригонометрично уравнение, стигам до някъде и после не знам как да продължа и се оплетох просто:
[tex]3cos^{3}x - sin^{2}x.cos x = sin x[/tex]
Благодаря предварително!

[Sup3rlum]

$3cos^3x-sin^2x.cosx=sinx$

$cosx(3cos^2x-sin^2x)=sinx$

$2cos^2x-cos(2x)=tanx$

$1+cos(2x)-cos(2x)=tanx$

$tanx=1$

$x=\frac{\pi}{4}\pm k\pi \rightarrow k \in \N$

[Евва]

( 2 начин )
3[tex]cos^{3}[/tex]x-[tex]sin^{2}[/tex]x.cosx=sinx
3[tex]cos^{3}[/tex]x-(1-[tex]cos^{2}[/tex]x)cosx=[tex]\sqrt{1-cos^{2}x}[/tex]
4[tex]cos^{3}[/tex]x-cosx=[tex]\sqrt{1-cos^{2}x}[/tex] | ( на втора степен )

16[tex]cos^{6}[/tex]x-8[tex]cos^{4}[/tex]x+[tex]cos^{2}[/tex]x=1-[tex]cos^{2}[/tex]x ; полагаме [tex]cos^{2}[/tex]x= у

16[tex]у^{3}[/tex]-8[tex]у^{2}[/tex]+2у-1= 0
8[tex]у^{2}[/tex](2у-1)+(2у-1)=0
(2у-1)(8[tex]у^{2}[/tex]+1)=0 [tex]\Rightarrow[/tex] 2у-1= 0 или 8[tex]у^{2}[/tex]+ 1=0
у =[tex]\frac{1}{2}[/tex] , кв. ур-е няма решение ( връщаме се към полагането )
cosx=[tex]\sqrt{\frac{1}{2}}[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] ; x=45[tex]^\circ[/tex]

x=[tex]\frac{\pi}{4}[/tex][tex]\pm[/tex]k[tex]\pi[/tex]