Тригонометрично с повишена трудност

[eloquent90]

sin7x + cos2x = -2

[Davids]

Единственият начин да получиш -2 като сбор от две тригонометрични функции е ако и двете са равни на -1. В този случай това е еквивалентно на:
[tex]\begin{array}{|l} sin7x = -1 \\ cos2x = -1 \end{array}[/tex]

Решения на двете уравнения са съответно $x_1 = \frac{3\pi + 4k\pi}{14}$ и $x_2 = \frac{\pi + 2n\pi}{2}$, където $k$ и $n$ са цели числа.

За да намерим общо решение на системата, приравняваме:
$\frac{3\pi + 4k\pi}{14} = \frac{\pi + 2n\pi}{2}$
$3\pi + 4k\pi = 7\pi + 14n\pi$
$n = \frac{2}{7}(k - 1)$.

Но за да е $n$ цяло, ще трябва $k - 1$ да е кратно на 7, т.е. $k$ да е кратно на 8.

Тоест, решението ни е $x = \frac{3\pi + 4k\pi}{14}$ при $k = 8p, p \in Z$

[pal702004]

Но за да е $n$ цяло, ще трябва $k - 1$ да е кратно на 7, т.е. $k$ да е кратно на 8.

Моля?

[Davids]

Но за да е $n$ цяло, ще трябва $k - 1$ да е кратно на 7, т.е. $k$ да е кратно на 8.

Моля?

Монументална глупост, моя грешка
Ограничаваме се до $k = 7p + 1$! Съжалявам!

[pal702004]

Или достатъчно е $n$ да е четно. $x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi t,\;t\in\mathbb{Z}$

[irina_dp]

cos^6(x)-sin^6(x)=7/27

[Knowledge Greedy]

[tex](cos^2x-sin^2x)[cos^4x+cos^2xsin^2x+sin^4x]=7/27[/tex]

[tex]cos2x[(cos^2x+sin^2x)^2-3(cos^2x.sin^2x)]=7/27[/tex]

[tex]cos2x\left [1-\frac{3}{4}sin^22x) \right ]=7/27[/tex]
Явно ще полагаме [tex]cos2x=t[/tex]
[tex]-1\le t \le 1[/tex]

[tex]81t^3-27t-28=0[/tex]

С формулата на Кардано (WA).png (2.41 KiB) Прегледано 363 пъти

Това означава
[tex]cos2x \approx 0,85803[/tex]
и
[tex]x \approx \pm 15^\circ 27'07'',0096+180^\circ k[/tex]