Тригонометрия

[Ивана К.]

Опростете израза

cotgL - tgL - 2tg2L - 4tg4L
задачата изглежда лесна но не е . моля помогнете ми

[Davids]

Да направим едно наблюдение:
$cotg\alpha - tg\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha} - \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = \frac{cos^2\alpha - sin^2\alpha}{sin\alpha cos\alpha} = \frac{2cos2\alpha}{sin2\alpha} = 2cotg2\alpha$

Взимаме тази красотийка и заместваме в дадения израз:
$A = cotg\alpha - tg\alpha - 2tg2\alpha - 4tg4\alpha = 2cotg2\alpha - 2tg2\alpha - 4tg4\alpha = 2(cotg2\alpha - tg2\alpha) - 4tg4\alpha$

Както може би е редно да забележиш, този модел ще се повтаря докрай
Aналогично взимаме $cotg2\alpha - tg2\alpha = 2cotg4\alpha$ и изразът става:
$A = 4cotg4\alpha - 4tg4\alpha = 8cotg8\alpha$