докажете тъждеството

[Сашкопетка]

IMG_20190526_151903.jpg (202.65 KiB) Прегледано 741 пъти

[Сашкопетка]

ако може поне някакво упътване как да постъпя със задачата

[Добромир Глухаров]

Използвай, че $\alpha+\beta+\gamma=\pi\Rightarrow\frac{\gamma}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha+\beta}{2}\Rightarrow tg\frac{\gamma}{2}=cotg\frac{\alpha+\beta}{2}$ и още, че $tg\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\right)=\frac{tg\frac{\alpha}{2}+tg\frac{\beta}{2}}{1-tg\frac{\alpha}{2}tg\frac{\beta}{2}}\Rightarrow tg\frac{\alpha}{2}tg\frac{\beta}{2}=1-\frac{tg\frac{\alpha}{2}+tg\frac{\beta}{2}}{tg\frac{\alpha+\beta}{2}}=1-\left(tg\frac{\alpha}{2}+tg\frac{\beta}{2}\right)cotg\frac{\alpha+\beta}{2}$

[Сашкопетка]

трябва да е равно на 1
как ще е 1

[Сашкопетка]

Използвай, че $\alpha+\beta+\gamma=\pi\Rightarrow\frac{\gamma}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha+\beta}{2}\Rightarrow tg\frac{\gamma}{2}=cotg\frac{\alpha+\beta}{2}$ и още, че $tg\left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}\right)=\frac{tg\frac{\alpha}{2}+tg\frac{\beta}{2}}{1-tg\frac{\alpha}{2}tg\frac{\beta}{2}}\Rightarrow tg\frac{\alpha}{2}tg\frac{\beta}{2}=1-\frac{tg\frac{\alpha}{2}+tg\frac{\beta}{2}}{tg\frac{\alpha+\beta}{2}}=1-\left(tg\frac{\alpha}{2}+tg\frac{\beta}{2}\right)cotg\frac{\alpha+\beta}{2}$

трябва да се получи 1 но не ми се получава . Отказах се

[Евва]

tg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]tg[tex]\frac{\beta}{2}[/tex]+tg[tex]\frac{\beta}{2}[/tex]tg[90[tex]^\circ[/tex]-([tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]+[tex]\frac{\beta}{2}[/tex]) ]+tg[90[tex]^\circ[/tex]-([tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]+[tex]\frac{\beta}{2}[/tex]) ]tg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]=

tg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]tg[tex]\frac{\beta}{2}[/tex]+tg[tex]\frac{\beta}{2}[/tex]cotg([tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]+[tex]\frac{\beta}{2}[/tex])+cotg([tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]+[tex]\frac{\beta}{2}[/tex])tg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]=

Скрит текст: покажи

Имаме общ множител.

=tg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]tg[tex]\frac{\beta}{2}[/tex]+(tg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]+tg[tex]\frac{\beta}{2}[/tex]).[tex]\frac{cotg\frac{\alpha}{2}cotg\frac{\beta}{2}-1}{cotg\frac{\alpha}{2}+cotg\frac{\beta}{2}}[/tex]=

=tg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]tg[tex]\frac{\beta}{2}[/tex]+[tex]\frac{(tg\frac{\alpha}{2}+tg\frac{\beta}{2})(cotg\frac{\alpha}{2}cotg\frac{\beta}{2}-1)}{\frac{1}{tg\frac{\alpha}{2}}+\frac{1}{tg\frac{\beta}{2}}}[/tex]=

=tg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]tg[tex]\frac{\beta}{2}[/tex]+[tex]\frac{(tg\frac{\alpha}{2}+tg\frac{\beta}{2})(cotg\frac{\alpha}{2}cotg\frac{\beta}{2}-1)}{\frac{tg\frac{\alpha}{2}+tg\frac{\beta}{2}}{tg\frac{\alpha}{2}tg\frac{\beta}{2}}}[/tex]=

=tg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]tg[tex]\frac{\beta}{2}[/tex]+tg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]tg[tex]\frac{\beta}{2}[/tex](cotg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]cotg[tex]\frac{\beta}{2}[/tex]-1)=

=tg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]tg[tex]\frac{\beta}{2}[/tex]+1-tg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]tg[tex]\frac{\beta}{2}[/tex]=

=1