Ограничения за аргумента х

[veriti79]

Задача 1.

Ако х [tex]\in[/tex] {[tex]\pi[/tex]; 3[tex]\pi[/tex]/2} опростете израза.

[tex]\sqrt{1+sin2x}[/tex] + sinx

Правилно ли ми е решението? Не, че задачата е трудна, но все пак.

[tex]\sqrt{sin^{2}x + cos^{2}x + 2sinx.cosx} + sinx
= \sqrt{(sinx + cosx)^{2}} + sinx[/tex] =
|sinx + cosx| + sinx

Понеже х [tex]\in[/tex] {[tex]\pi[/tex]; 3[tex]\pi[/tex]/2} , то и sinx [tex]\le 0[/tex] и [tex]cosx\le 0 \Rightarrow[/tex]

-sinx - cosx + sinx = - cosx

Задача 2.
Да се намери сборът
[tex]sin^{3}x + cos^{3}x[/tex]
ako sinx + cosx =a и а > 0

(sinx +cosx).([tex]sin^{2}x[/tex] - sinx.cosx + [tex]cos^{2}x[/tex] = a(1 - sinx.cosx)

[pal702004]

Първата е добре - но в условието е записано $+\sin(3x)$, а в решението $+\sin(x)$. Кое е вярно?

Втората не е довършена. Може да се изрази $\sin(x)\cos(x)$ чрез $a$

[veriti79]

Първата е добре - но в условието е записано $+\sin(3x)$, а в решението $+\sin(x)$. Кое е вярно?

Втората не е довършена. Може да се изрази $\sin(x)\cos(x)$ чрез $a$

sinx е вярно. Ще коригирам.

Благодаря за помощта на втората!

[Sup3rlum]

$sinx+cosx=a$

$\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4})=a$

$sin(x+\frac{\pi}{4})=\frac{a}{\sqrt{2}}$

Тук малко си позволявам, ама да предположим, че $x > 0$

Screenshot_14.png (7.35 KiB) Прегледано 502 пъти

В този триъглник $AB=a$, $AC=\sqrt{2}$
По питагор, $CB=\sqrt{2-a^2}$

Построили сме $\triangle CBD$, $CB=BD, \angle CBD = 90^\circ$
$\Rightarrow AD=AB-DB=a-\sqrt{2-a^2}$
$\Rightarrow DC= \sqrt{2}\sqrt{2-a^2}$
$\angle CDA = \frac{3\pi}{4}$

По синусовата теорема: $\frac{sin(3\pi/4)}{\sqrt{2}}=\frac{sin(x)}{a-\sqrt{2-a^2}}$

$sinx=\frac{a-\sqrt{2-a^2}}{2}$

По косинусовата теорема:

$AD^2=CD^2+AC^2-2.CD.AC.cosx$

$(a-\sqrt{2-a^2})^2=2+4-2a^2-2\sqrt{2-a^2}cosx$
$a^2-2a\sqrt{2-a^2}+2-a^2=6-2a^2-2\sqrt{2-a^2}cosx$
$cosx=\frac{4+2a\sqrt{2-a^2}-2a^2}{2\sqrt{2-a^2}}$

От там $sin^3x+cos^3x=(sinx+cosx)(sin^2x-sinxcosx+cos^2x)$
$sin^3x+cos^3x=a(1-sinxcosx)$
$sin^3x+cos^3x=a(1-\frac{(4+2a\sqrt{2-a^2}-2a^2)(a-\sqrt{2-a^2})}{4\sqrt{2-a^2}})$

[pal702004]

veriti79,

$\sin x\cdot\cos x=\dfrac{(\sin x+cos x)^2-(sin^2 x+\cos^2 x)}{2}=\dfrac{a^2-1}{2}$