Тригонометрична задача

[moni2003petrova]

Отношението на лицата на правоъгълен триъгълник и квадрат със страна хипотенузата на триъгълника е 1:4. Намерете сбора от тангенсите на острите ъгли на триъгълника.

[Евва]

2 ли е отговора ?

[S.B.]

Без заглавие (44).png (202.31 KiB) Прегледано 696 пъти

Отношението на лицата на правоъгълен триъгълник и квадрат със страна хипотенузата на триъгълника е 1:4. Намерете сбора от тангенсите на острите ъгли на триъгълника.

[tex]S_{ABC } : S_{ABMN } = 1 : 4 \Leftrightarrow \frac{ab}{2} : c^{2} = 1 : 4 \Leftrightarrow \frac{ab}{2c^{2}} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{ab}{c^{2}} = \frac{1}{2}[/tex]
$ a^{2} + b^{2} = c^{2}$ по Питагор
$tg\alpha = \frac{a}{b} , tg\beta = \frac{b}{a}$
[tex]tg\beta + tg\alpha = \frac{b}{a} + \frac{a}{b} = \frac{a^{2} + b^{2}}{ab} = \frac{c^{2}}{ab} = \frac{2}{1}[/tex]
$$tg\alpha + tg\beta = 2$$

[Евва]

Ето моята идея :
tg[tex]\alpha[/tex]+tg[tex]\beta[/tex]=?

[tex]\frac{S_{ABC }}{S_{A_{1 }B_{1 }BA }}[/tex]=[tex]\frac{1}{4}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\frac{\frac{c^{2}sin\alpha.sin\beta}{2sin90^\circ}}{c^{2}}[/tex]=[tex]\frac{1}{4}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex]

[tex]\frac{sin\alpha.sin(90^\circ-\alpha)}{2}[/tex]=[tex]\frac{1}{4}[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] sin[tex]\alpha[/tex]cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex] (1)

tg[tex]\alpha[/tex]+tg[tex]\beta[/tex]=tg[tex]\alpha[/tex]+tg(90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex])=tg[tex]\alpha[/tex]+cotg[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{sin\alpha}{cos\alpha}[/tex]+[tex]\frac{cos\alpha}{sin\alpha}[/tex]=

=[tex]\frac{sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha}{sin\alpha.cos\alpha}[/tex] (виж (1)) =[tex]\frac{1}{\frac{1}{2}}[/tex]=2

[ptj]

Има и друго лесно решение.
От условието за лицата веднага следва, че височината към хипотенузата е равна на половината и дължина.

Това e еквивалентно на [tex]2=cotg (\alpha)+cotg(90-\alpha)=cotg(\alpha)+tg(\alpha)=tg(90-\alpha)+tg(\alpha)[/tex].

[KOPMOPAH]

Ако използваме разумната забележка на колегата ptj, че

...От условието за лицата веднага следва, че височината към хипотенузата е равна на половината и дължина...

и съобразим, че такава височина може да има само в равнобедрен правоъгълен триъгълник, в който височина и медиана към хипотенузата са равни, получаваме за острите ъгли $\alpha = \beta = 45^\circ$, а от там стигаме до $$\operatorname {tg}\alpha+\operatorname {tg}\beta=\operatorname {tg}45^\circ+\operatorname {tg}45^\circ=1+1=2$$

[ptj]

Има безброй много триъгълници с височина към хипотенузата равна на половината и дължина. От тях само един е равнобедрен.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Преди да оценявате нечие мнение, поне се опитайте да разберете написаното.

[KOPMOPAH]

Уважаеми ptj, нарекох забележката Ви "разумна" и тя наистина е такава. Не разбирам с какво това Ви е засегнало. Би трябвало да се гордеете, че понякога имате и добри идеи.

И все пак, да допуснем за миг, че сте прав. Построяваме височината $CH$ и медианата $CM$. В такъв случай триъгълникът $\triangle CHM$ е равнобедрен с прав ъгъл при основата $HM$ Това би могло да се случи в някоя от неевклидовите геометрии, но в случая е възможно само, ако височината и медианата съвпадат. Прав сте, че съществуват безброй такива триъгълници. Има една единствена уговорка - всичките те са ПОДОБНИ равнобедрени правоъгълни триъгълници.

С удоволствие бих приел Вашите аргументи, при възможност и необходимост придружени с чертеж. Допускам, че може аз да греша.

[S.B.]

Има безброй много триъгълници с височина към хипотенузата равна на половината и дължина. От тях само един е равнобедрен.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Преди да оценявате нечие мнение, поне се опитайте да разберете написаното.

Уважаеми колега ptj,оказва се че отново не съм разбрала нещо преди да оценя колегата KOPMOPAH!
Отбелязвам,че аз не се явявам негов адвокат,а защитавам себе си.
Нека да да го обсъдим:
1)Щом говорите за "хипотенуза" означава,че имате предвид правоъгълен триъгълник,в който най голямият ъгъл е [tex]90^\circ[/tex] и височината спусната от върха му ще пресече някъде отсрещната страна - в случая хипотенузата.
2)Височината към хипотенузата е равна на половината й дължина $\Rightarrow$ височината ще бъде равна и на другата половина,нали?
3)Май се получават два триъгълника "на калкан",които се оказва,че са еднакви по първи признак - обща страна(височината) двете половинки от хипотенузата,правия ъгъл между тях $\Rightarrow$ и третите им страни са равни $\Rightarrow$ правоъгълният триъгълник е равнобедрен.
4) Избрахме произволен правоъгълен триъгълник на който височината към хипотенузата е равна на половината от дължината й
Следователно ВСЕКИ правоъгълен триъгълник,на който височината към хипотенузата е равна на половината от дължината й е РАВНОБЕДРЕН.Има безбройно много такива триъгълници и те всички са подбни по между си по първи признак.

[Gruicho]

Има безброй много триъгълници с височина към хипотенузата равна на половината и дължина. От тях само един е равнобедрен.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Преди да оценявате нечие мнение, поне се опитайте да разберете написаното.

Виж какво ти пишат хората дето разбират от математика!!!

[ptj]

O.K.
Прави сте. Медиана и височина да са еднаква дължина единствено при равнобедрн триъгълник.

Просто не чертая и за момент забравих за правия ъгъл...

М/у другото от [tex]tg(\alpha)+cotg(\alpha)=2\Rightarrow tg(\alpha)=cotg(\alpha)=1[/tex]