Докажете формулата

[Евва]

[tex]S_{\triangle }[/tex]=2[tex]R^{2}[/tex]sin[tex]\alpha[/tex]sin[tex]\beta[/tex]sin[tex]\gamma[/tex]

[Davids]

По стандартната формула имаме $S = \frac{absin\gamma}{2}$ и всичките аналогични.

$\Rightarrow S^3 = \frac{(abc)^2sin\alpha sin\beta sin\gamma}{8}$

Същевременно важи и:
$S = \frac{abc}{4R}$
$\Rightarrow (abc)^2 = 16R^2S^2$

Заместваме горе и получаваме:
$S^{\cancel{3}} = \frac{16R^2\cancel{S^2} sin\alpha sin\beta sin\gamma}{8}$

$\boxed{\Rightarrow S = 2R^2sin\alpha sin\beta sin\gamma}$

[Евва]

Може ли да се докаже още по-кратко и изчистено ?

[Davids]

Може ли да се докаже още по-кратко и изчистено ?

Това, което се сещам, е опростена версия на същото. Не мога да предоставя чертеж, но от периферни и централни ълли с правоъгълните триъгълници от центъра на описаната окръжност при всяка страна можем да изведем зависимостта $\frac{a}{2} = Rsin\gamma$. Аналогично и за другите страни. Така получаваме:
$\frac{abc}{8} = R^3sin\alpha sin\beta sin\gamma$

Умножаваме двете страни по $\frac{2}{R}$ и достигаме до:
$\frac{abc}{4R} = S = 2R^2sin\alpha sin\beta sin\gamma$

[Евва]

Не зная как е оригиналното доказателство.
Ето моята идея:

( sin T-[tex]\triangle[/tex]ABC ) [tex]\frac{a}{sin\alpha}[/tex]=2R , [tex]\frac{b}{sin\beta}[/tex]=2R , [tex]\frac{c}{sin\gamma}[/tex]=2R

[tex]S_{\triangle }[/tex]=[tex]\frac{abc}{4R}[/tex]=[tex]\frac{2Rsin\alpha.2Rsin\beta.2Rsin\gamma}{4R}[/tex]=2[tex]R^{2}[/tex]sin[tex]\alpha[/tex]sin[tex]\beta[/tex]sin[tex]\gamma[/tex]