За ценителите на тригонометрията

[KOPMOPAH]

Да се намери стойността на израза $$\sin \frac{\pi}{9} \sin \frac{2\pi}{9}\sin\frac{4\pi}{9}$$

[Евва]

Моят отговор е [tex]\frac{\sqrt{3}}{8}[/tex]

[Vurbaninator]

Използва се равенството
4sin(x)sin(60+x)sin(60-x)=sin(3x).

[Евва]

Аз използвах ф-та : 4[tex]cos^{3}[/tex][tex]\alpha[/tex] -3cos[tex]\alpha[/tex]=cos3[tex]\alpha[/tex]

[KOPMOPAH]

Използва се равенството
4sin(x)sin(60+x)sin(60-x)=sin(3x).

И двете решения са добри, добре би било да е малко по-подробно...

[Евва]

sin[tex]\frac{\pi}{9}[/tex]sin[tex]\frac{2\pi}{9}[/tex]sin[tex]\frac{4\pi}{9}[/tex]=

=sin20[tex]^\circ[/tex]sin40[tex]^\circ[/tex]sin80[tex]^\circ[/tex]=

=sin(30[tex]^\circ[/tex]-10[tex]^\circ[/tex])sin(30[tex]^\circ[/tex]+10[tex]^\circ[/tex])sin(90[tex]^\circ[/tex]-10[tex]^\circ[/tex])=

=[sin30[tex]^\circ[/tex]cos10[tex]^\circ[/tex]-cos30[tex]^\circ[/tex]sin10[tex]^\circ[/tex]][sin30[tex]^\circ[/tex]cos10[tex]^\circ[/tex]+cos30[tex]^\circ[/tex]sin10[tex]^\circ[/tex]]cos10[tex]^\circ[/tex]=

=[ ( [tex]\frac{cos10^\circ}{2})^{2}[/tex]-([tex]\frac{\sqrt{3}sin10^\circ}{2})^{2}[/tex] ]cos10[tex]^\circ[/tex]=

=[tex]\frac{1}{4}[/tex][ [tex]cos^{2}[/tex]10[tex]^\circ[/tex]-3[tex]sin^{2}[/tex]10[tex]^\circ[/tex] ]cos10[tex]^\circ[/tex]=

=[tex]\frac{1}{4}[/tex][ 4[tex]cos^{2}[/tex]10[tex]^\circ[/tex]-3 ]cos10[tex]^\circ[/tex]=

=[tex]\frac{1}{4}[/tex][ 4[tex]cos^{3}[/tex]10[tex]^\circ[/tex]-3cos10[tex]^\circ[/tex] ]=

=[tex]\frac{1}{4}[/tex].cos30[tex]^\circ[/tex]=[tex]\frac{1}{4}[/tex].[tex]\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]=

=[tex]\frac{\sqrt{3}}{8}[/tex]

[S.B.]

Да се намери стойността на израза $$\sin \frac{\pi}{9} \sin \frac{2\pi}{9}\sin\frac{4\pi}{9}$$

И още един поглед върху задачата:

$sin\frac{\pi}{9}.sin2\frac{\pi}{9}.sin4\frac{\pi}{9} =$

$ = sin20.sin40.sin80 =$

$ = sin20.sin(60 - 20).sin(60 + 20) =$

[tex]= sin20.(sin60.cos20 - cos60.sin20)(sin60.cos20 + sin20.cos60) =[/tex]

[tex]= sin20(sin^{2}60.cos^{2}20 - cos^{2}60.sin^{2}20) =[/tex]

[tex]= sin20(\frac{3}{4}cos^{2}20 - \frac{1}{4}sin^{2}20 )=[/tex]

$ = sin20[\frac{3}{4}(1 - sin^{2}20) - \frac{1}{4}sin^{2}20] = $

$ = sin20(\frac{3}{4} - \frac{3}{4}sin^{2}20 - \frac{1}{4}sin^{2}20) = $

$ = sin20(\frac{3}{4} - sin^{2}20 )=$

$ = \frac{1}{4}sin20( 3 - 4sin^{2}20) = $

$ = \frac{1}{4}(3sin20 - 4sin^{3}20) = $

$ = \frac{1}{4}sin3.20 = \frac{1}{4}sin60 = \frac{1}{4}\frac{\sqrt{3}}{2} =\frac{\sqrt{3}}{8}$