Позабравена задача

[KOPMOPAH]

При толкова ценители на тригонометричните функции една задача е останала незаслужено нерешена...

[Vurbaninator]

Ползва се, че [tex]F_{n+1 }F_{n-1 }-F_{n }^{2}=(-1)^{n}[/tex] и
[tex]F_{n+1 }=F_{n }+F_{n-1 }[/tex] и формулата за
[tex]cotg(\alpha-\beta)[/tex] , а втората част от задачата е телескопична сума и съображението, че [tex]\lim_{n \to \infty}F_{2n+1 }=0[/tex].

[Vurbaninator]

Доста наедро го написах. Mоля този, който е разбрал решението и е добър с LaTex да го опише по-подробно вместо мен:). Отнема ми много време да опиша една задача във форума.

[Vurbaninator]

Нека М е матрица 2х2
първи ред 1 и 1
втори ред 1 и 0
Ако повдигнем М на степен к получаваме нова матрица
първи ред Fk+1 и Fk
втори ред Fk и Fk-1
Това се доказва с индукция.
Сега det(M)=-1 =>
det(M^k)=(-1)^k=(Fk+1)*(Fk-1)-(Fk)^2. Това равенство може да се докаже и с по-елементарни средства, но с матрици е наистина красиво.