Не много трудна задача по тригонометрия

[KOPMOPAH]

Решете уравнението $$4\sin 2x + 8(\sin x - \cos x ) = 7$$

[S.B.]

Решете уравнението $$4\sin 2x + 8(\sin x - \cos x ) = 7$$

Нека [tex]sinx - cosx = t[/tex]
$(sinx - cosx)^{2} = sin^{2}x - 2sinxcosx + cos^{2}x = 1 - 2sinxcosx \Rightarrow 2sinxcosx = 1 - (sinx - cosx)^{2} \Rightarrow sin2x = 1 - t^{2}$
$ - 1 \le sin2x \le 1 \Rightarrow - 1 \le 1 - t^{2} \le 1$
[tex]\begin{cases} 1 - t^{2} \ge -1\\ 1 - t^{2} \le 1\end{cases} \Rightarrow[/tex] Д.М. за $t$ : $t \in [ - \sqrt{2} ; \sqrt{2}]$
Замествам и получавам:
[tex]4(1 - t^{2}) + 8t - 7 = 0 \Leftrightarrow 4t^{2} - 8t + 3 = 0 , D = 16 , t_{1,2 } = \frac{3}{2} ; \frac{1}{2}[/tex] $t = \frac{3}{2} \notin $ Д.М. , $ t = \frac{1}{2} \in $ Д.М.
Връщам субституцията:
[tex]sinx - cosx = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sqrt{2}sin(x - 45^\circ) = \frac{1}{2} \Rightarrow sin (x - 45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{4} \approx 0,3535[/tex]
$sin 20^\circ 45'\approx 0,3535 \Rightarrow \alpha_{0 } \approx 20^\circ 45$'
[tex]x_{1 } - 45^\circ = \alpha_{0 } + 2k\pi \Rightarrow x_{1 } = \alpha_{0 } + 45^\circ + 2k\pi[/tex]
[tex]x_{2 } - 45^\circ = - \alpha_{0 } + (2k + 1)\pi \Rightarrow x_{2 } = - \alpha_{0 } + 45^\circ + (2k + 1)\pi[/tex]

[KOPMOPAH]

Браво.gif (7.91 KiB) Прегледано 383 пъти