Още една не много трудна тригонометрична задачка :P

[Петър Евгениев]

[tex]1+sin^{3}x+cos^{3}x=\frac{3}{2}sin2x[/tex]

Скрит текст: покажи

Бонус: [tex]2sin^{2}x-sinx-1=2cos^{3}x[/tex]

[pal702004]

...грешчица

[Петър Евгениев]

...грешчица

Хмм?

[pal702004]

Така или иначе със субституция:

$\sin(x)+\cos(x)=t,\;\Rightarrow \sin(x)\cos(x)=(t^2-1)/2$

се стига до кубичното

$t^3+3t^2-3t-5=0$ с рационален корен $t=-1$

Другите два не попадат в интервала $[-\sqrt 2;\sqrt 2]$

и се свежда до $sin(x)+\cos(x)=-1$

[Добромир Глухаров]

$2sin^2x-sinx-1=2cos^3x$

$2(1-cos^2x)-sinx-1=2cos^3x$

$1-2cos^2x-2cos^3x=sinx$

$1-2cos^2x(1+cosx)=sinx$

$cosx=u;\ |u|\leq1$

$(1-2u^2(1+u))^2=1-u^2$

$\cdots$

$u^2(4u^4+8u^3+4u^2-4u-3)=0$

$u^2(2u^2-1)(2u^2+4u+3)=0$

$2u^2+4u+3>0\ \ \forall u\in\mathbb{R}$

$u_{1,2}=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+k\pi;\ k\in\mathbb{Z}$

$u_{3,4}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{l\pi}{2};\ l\in\mathbb{Z}$

$u_{5,6}\notin\mathbb{R}$

[Добромир Глухаров]

Всъщност имам грешка - при повдигането на квадрат съм внесъл допълнителни корени. От първоначалното уравнение следва, че $sinx$ и $cosx$ трябва да са с противоположни знаци. Така вместо решенията $x=\frac{\pi}{4}+\frac{l\pi}{2}$ трябва да имаме $x=\frac{3\pi}{4}+l\pi$. Моля за извинение .