За любителите на тригонометрията - пак не много трудна

[KOPMOPAH]

Да се реши уравнението: $$(\tg x)^{\cos ^2 x}=(\ctg x)^{\sin x}$$

Скрит текст: покажи

Отг:
$x=\frac {\pi}4+k\pi, ~k \in \mathbb {Z};\\x=\arcsin {\frac {\sqrt 5 - 1}{2}}+(2k+1)\pi, ~k \in \mathbb {Z}$

[Sup3rlum]

$(tanx)^{cos^2x}=(cotx)^{sinx}$

$(tanx)^{cos^2x}=(tanx)^{-sinx}$

За $tanx=1, x= \frac{\pi}{4}+k\pi$

В противен случай:

$cos^2x=-sinx$
$1-sin^2x+sinx=0$
$sin^2x-sinx-1=0$

С полагане става:

$x=arcsin\frac{1-\sqrt{5}}{2}+(2k+1)\pi$

[S.B.]

Да се реши уравнението: $$(\tg x)^{\cos ^2 x}=(\ctg x)^{\sin x}$$

Скрит текст: покажи

Отг:
$x=\frac {\pi}4+k\pi, ~k \in \mathbb {Z};\\x=\arcsin {\frac {\sqrt 5 - 1}{2}}+(2k+1)\pi, ~k \in \mathbb {Z}$

[tex]tgx = cotgx = 1[/tex] за $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$
Тогава се получава :
[tex]1^{ cos^{2}x} = 1^{ sinx} \Leftrightarrow cos^{2}x = sinx \Leftrightarrow 1 - sin^{2}x - sinx = 0[/tex]
Нека $sinx = t $
Д.М.:$|t| \le 1$

$t^{2} + t - 1 = 0 , D = 5 ,t_{1 } = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2} \notin$ Д.М.
$t_{2 } = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \in $ Д.М.
$sinx = t \Rightarrow sinx = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \Rightarrow x = arcsin\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
$$ x = \frac{\pi}{4} + k\pi ; x = arcsin\frac{\sqrt{5} - 1}{2} + (2k + 1)\pi $$