Множеството от стойности на функцията y = sinx + cosx

[Ивана К.]

Намерете множеството от стойности на функцията на y = sinx + cosx

[Knowledge Greedy]

[tex][-\sqrt{2};+\sqrt{2}][/tex]

Как се намира?
Един начин - полагане [tex]cosx=t[/tex] и разглеждаме нова функция
[tex]f(t)=t+\sqrt{1-t^2}[/tex]
с дефиниционно множество [tex]t\in [-1;1].[/tex]

Друг начин - със забележителните неравенства.
За [tex]A\ge 0[/tex] и [tex]B\ge 0[/tex] е вярно [tex]\frac{A+B}{2}\le\sqrt{\frac{A^2+B^2}{2}}[/tex]
Прилагаме за положителни синус и косинус, и получаваме най-голямата стойност.
Интересното е когато и [tex]-1\le cosx\le 0[/tex] и [tex]-1\le sinx\le 0[/tex]
Тогава
[tex]\frac{(-sinx)+(-cosx)}{2}\le \sqrt{\frac{sin^2x+cos^2x}{2}}[/tex]
откъдето се намира [tex]\forall x \,\ \Rightarrow \,\ -y \le 2 \sqrt{\frac{sin^2x+cos^2x}{2}}[/tex]
и най-малката стойност на функцията e [tex]-\sqrt{2}[/tex]. Т.е. [tex]\forall x \,\ \Rightarrow \,\ y \ge -2\frac{\sqrt{1}}{2}=-\sqrt{2}[/tex]

Трети начин - тригонометричен.
[tex]sinx+cosx=sinx+ sin(90^\circ-x)=2sin\frac{x+(90^\circ-x)}{2}cos\frac{x-(90^\circ-x)}{2}=2sin45^\circ cos(x-45^\circ)[/tex]
Така [tex]y=\sqrt{2}cos(x-45^\circ)[/tex]
и тъй като (стойностите на косинуса са между -1 и 1)
[tex]-1\le cos(x-45^\circ) \le 1[/tex],
то следва
[tex]-\sqrt{2}\le y \le \sqrt{2}[/tex]
____________
Оставям Ви самостоятелно да си откриете стойностите на [tex]x[/tex], за които се достигат намерените [tex]max \,\ y[/tex] и [tex]min \,\ y[/tex]

[peyo]

Чудех се дали може да решим задачата без да решаваме уравнения или поне да отгатнем отговора.

Свеждаме задачата до:
Да намерим максималния възможен сбор на катетите на правоъгълен триъгълник с хипотенуза 1. Да видим чертежа:

sinpluscosmax1.png (163.6 KiB) Прегледано 888 пъти

И така при ъгъл алфа около 0 или 90 сбора е 1 и е минимален. Кога ще е максимален? Някъде между 0 и 90. Но къде точно? Тъй като sin и cos са напълно симетрични в нашия случай, значи точно на средата ще имаме максимум или това е 45 градуса.

Тогава sin(45)+cos(45) = sqrt(2)

Това в първи квадрант. Минимална стойност ще имаме в 3-ти квадрант където sin и cos са отрицателни и тъй като всички е симетрично там ще е -sqrt(2)