Тригонометрия

[Kristina666]

Ако косинусите на два от ъглите в триъгълник са 3/5 и 5/13, намерете синуса на третия ъгъл.
Отг.56/65

[S.B.]

Ако косинусите на два от ъглите в триъгълник са 3/5 и 5/13, намерете синуса на третия ъгъл.
Отг.56/65

[tex]\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \Rightarrow \gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) \Rightarrow sin\gamma = sin(180^\circ - ( \alpha + \beta) \Leftrightarrow sin\gamma = sin(\alpha + \beta)[/tex]
$sin\gamma = sin(\alpha + \beta) = sin\alpha.cos\beta + sin\beta.cos\alpha$
$cos\alpha = \frac{3}{5} \Rightarrow sin\alpha = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^{2}} = \frac{4}{5}$
$cos\beta = \frac{5}{13} \Rightarrow sin\beta = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^{2}} = \frac{12}{13}$
$sin\gamma = sin\alpha.cos\beta + sin\beta.cos\alpha = \frac{4}{5}.\frac{5}{13} + \frac{12}{13}.\frac{3}{5} = \frac{20 + 36}{65} = \frac{56}{65}$