стойностите на параметъра а

[Павел]

WIN_20191202_21_39_27_Pro.jpg (170.36 KiB) Прегледано 538 пъти

- задача 30 та

[S.B.]

Уравнения от вида :
$a.sinx + b.cosx = c $
се преработват по следния начин:
$\frac{a}{\sqrt{a^{2} +b^{2}}}sinx + \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}cosx = \frac{c}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$
тъй като винаги съществува $\angle \alpha$ за който е изпълнено :
$cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ и $ sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$
В нашия случай:
$2.sinx + 3.cosx = a \Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{13}}.sinx + \frac{3}{\sqrt{13}}.cosx = \frac{a}{\sqrt{13}}$
Съществува $a$ такова,че $cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{13}}$ и $sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}$ ,защото $sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = \frac{4}{13} + \frac{9}{13} = 1$
Тогава преработваме уравнението по следния начин :
$\frac{2}{\sqrt{13}}.sinx + \frac{3}{\sqrt{13}}.cosx = \frac{a}{\sqrt{13}} \Leftrightarrow sinx.cos\alpha + cosx.sin\alpha = \frac{a}{\sqrt{13}} \Leftrightarrow sin(\alpha + x) = \frac{a}{\sqrt{13}}$
$- 1 \le sin(x + \alpha) \le 1 \Rightarrow - 1 \le \frac{a}{\sqrt{13}} \le 1$
$ \frac{a}{\sqrt{13}}\ge - 1 \Rightarrow a \ge - \sqrt{13}$
$\frac{a}{\sqrt{13}}\le 1\Rightarrow a \le \sqrt{13}$ $$a \in [ - \sqrt{13} ; \sqrt{13}]$$

[Евва]

Може ли така :

2.[tex]\frac{2tg\frac{x}{2}}{1+tg^{2}\frac{x}{2}}[/tex]+3.[tex]\frac{1-tg^{2}\frac{x}{2}}{1+tg^{2}\frac{x}{2}}[/tex]=a

4tg[tex]\frac{x}{2}[/tex]+3-3[tex]tg^{2}[/tex][tex]\frac{x}{2}[/tex]=a+a[tex]tg^{2}[/tex][tex]\frac{x}{2}[/tex]

(a+3)[tex]tg^{2}[/tex][tex]\frac{x}{2}[/tex]-4tg[tex]\frac{x}{2}[/tex]+(a-3) =0

В това квадратно уравнение к=-2 ;D=4-(a+3)(a-3) [tex]\Leftrightarrow[/tex] D=13-[tex]a^{2}[/tex]

За да има решение ,трябва D[tex]\ge[/tex]0 т.е. 13-[tex]а^{2}[/tex][tex]\ge[/tex]0

а[tex]\in[/tex][-[tex]\sqrt{13}[/tex];[tex]\sqrt{13}[/tex]]

[S.B.]

Може ли така :....

Естествено,че може,щом е вярно!