Докажете ,че

[Евва]

Докажете ,че: cos 36[tex]^\circ[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{5}+1}{4}[/tex]

[Добромир Глухаров]

Сигурно има и по-добър начин, но ето какво си мисля:

$\alpha=18^\circ\Rightarrow90^\circ-\alpha=4\alpha$

$sin(90^\circ-\alpha)=sin(4\alpha)$

$cos\alpha=2sin2\alpha cos2\alpha$

$cos\alpha=4sin\alpha cos\alpha(1-2sin^2\alpha)|:cos\alpha\neq0$

$8sin^3\alpha-4sin\alpha+1=0$

По формулата на Тарталя-Кардано (и с малко налучкване) получих $sin18^\circ=sin\alpha=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$

$cos36^\circ=1-2sin^218^\circ=1-2\cdot\frac{6-2\sqrt{5}}{16}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$

[Добромир Глухаров]

А, сетих се! Може да се използва петолъчката на Питагор. В нея се срещат ъгли от $72^\circ$ и $36^\circ$, а също и Златното сечение $\varphi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$, което може да се изведе с помощта на подобни триъгълници, които се срещат в изобилие.

[vezni]

Може да се докаже, че [tex]\cos36\degree.\cos72\degree=\frac 14[/tex].

[tex]\cos36\degree.\cos72\degree=\frac{4.\sin36\degree.\cos36\degree.\cos72\degree}{4\sin36\degree}=\frac{\sin144\degree}{4\sin36\degree}=\frac 14[/tex].
Като положим [tex]\cos36\degree=x\Rightarrow \cos72\degree=2x^2-1[/tex] и заместим в равенството се получава уравнението
[tex]8x^3-4x-1=0\Leftrightarrow (2x+1)(4x^2-2x-1)=0[/tex]. Остава да се съобрази кой от корените съответства на [tex]\cos36\degree[/tex].

Би трябвало да има някакво геометрично доказателство, защото [tex]36\degree[/tex] е централен ъгъл при правилен петоъгълник.

[S.B.]

Без заглавие (94).png (282.01 KiB) Прегледано 754 пъти

Докажете ,че: cos 36[tex]^\circ[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{5}+1}{4}[/tex]

Построявам равнобедрен [tex]\triangle ABC ,\angle A = \angle B = 72^\circ, \angle C = 36^\circ ,AL[/tex] - ъглополовяща на $\angle A$
$\triangle ABL , \triangle ALC $ - са равнобедрени също.
Нека $LC = x , LB = y$
Тогава $AB = AL = LC = x ,BC = AC = x + y$ Построявам $LM\bot AC , MC = \frac{AC}{2} \Leftrightarrow MC = \frac{x + y}{2}$
От $\triangle MLC \rightarrow cos36^\circ =\displaystyle \frac{MC}{LC} \Leftrightarrow cos36^\circ = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{x + y}{2}}{x} \Leftrightarrow \frac{1}{2}(1 + \frac{y}{x}) >0$ защото $36^\circ < 90^\circ$
Трябва ми да намеря $\frac{y}{x}$
От свойството на ъглополовящата $\Rightarrow \frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC} \Leftrightarrow \frac{y}{x} = \frac{x}{x + y} \Rightarrow y^{2} + xy -x^{2} = 0$
$x^{2}\ne 0 \Rightarrow (\frac{y}{x})^{2} + \frac{y}{x} - 1 = 0 $
Получи се :[tex]\frac{y}{x} = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}[/tex]
$cos36^\circ = \frac{1}{2}(1 + \frac{y}{x})$
Получиха се два отговора :$cos36^\circ = \frac{1 + \sqrt{5}}{4} = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$ и $cos36^\circ = \frac{1 -\sqrt{5}}{4} < 0$ което не е решение,защото ъгълът е остър.
$$cos36^\circ = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$$

[Добромир Глухаров]

Питагорова Звезда.png (531.64 KiB) Прегледано 754 пъти

$\Delta BHE\sim\Delta GHB$

$BH:GH=EH:GB$

$EG:GH=(EG+GH):EG$

$\Rightarrow EG:GH=\varphi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

$sin18^\circ=\frac{GH}{2}:BH=\frac{1}{2\varphi}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{5}+1}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$

Извинявам се, че на чертежа ъглите не са съвсем точни. Правих го с GeoGebra, а в нея не знам как да задам определена точност на представяне на числата.

[S.B.]

....
Извинявам се, че на чертежа ъглите не са съвсем точни. Правих го с GeoGebra, а в нея не знам как да задам определена точност на представяне на числата.

KOPMOPAH ги прави тези работи с GеоGебра, ама с е предишната версия.И аз не знам как. KOPMOPAH си е специалист по GеоGебра - та !

[Евва]

Разсъждавах върху друга задача,но намерих cos 36[tex]^\circ[/tex] . Започнах разсъжденията като S.B.
В равноб.[tex]\triangle[/tex]АВС-означих АВ=LC=х ,BL=у ,АС=ВС=х+у
AL-ъглополовяща [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\frac{х}{у}[/tex]=[tex]\frac{х+у}{х}[/tex] ; [tex]у^{2}[/tex]+ху-[tex]x^{2}[/tex]=0 ( у-неизвестно) D=[tex]x^{2}[/tex]+4[tex]x^{2}[/tex]=5[tex]x^{2}[/tex]

[tex]у_{1,2 }[/tex]=[tex]\frac{-х\pmх\sqrt{5}}{2}[/tex] ; [tex]у_{1 }[/tex]=[tex]\frac{х(\sqrt{5}-1)}{2}[/tex] , [tex]у_{2 }[/tex]=-[tex]\frac{х(1+\sqrt{5})}{2}[/tex] <0

( [tex]\triangle[/tex]ABL-sin T ) [tex]\frac{x}{sin 72^\circ}[/tex]=[tex]\frac{y}{sin 36^\circ}[/tex]

[tex]\frac{x}{2sin36^\circ.cos36^\circ}[/tex]=[tex]\frac{x(\sqrt{5}-1)}{2sin36^\circ}[/tex]

cos 36[tex]^\circ[/tex]=[tex]\frac{1}{\sqrt{5}-1}[/tex]=[tex]\frac{\sqrt{5}+1}{4}[/tex]

[Евва]

Скоро намерих това клипче
(1) Косинус 36 градусов-You Tube

(Качено е на 1.10.2 016 г. от Sergey Valerevich .)