Да се намерят височините в триъгълник

[moni2003petrova]

Да се намерят височините в триъгълник със страна с=2√2, ъгъл [tex]\alpha[/tex] = 45° и радиус на описаната окръжност R=3см.

[S.B.]

Без заглавие (28).png (237.64 KiB) Прегледано 352 пъти

По синусова теорема:[tex]\frac{AB}{sin\gamma} = 2R \Leftrightarrow \frac{AB}{2R} = sin\gamma \Rightarrow sin\gamma = \frac{2\sqrt{2}}{6}[/tex]
$sin\gamma = \frac{\sqrt{2}}{3} , cos\gamma = \frac{\sqrt{7}}{3}$
$\frac{BC}{sin\alpha} = 2R \Leftrightarrow BC = 6.\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow BC = 3\sqrt{2}$
$\angle ABA_{1 } = 45^\circ + \gamma$ (външен за $\triangle ABC$ )
От $\triangle AA_{1 }B \rightarrow \frac{AA_{1 }}{AB} = sin\angle ABA_{1 } \Rightarrow AA_{1 } = AB.sin\angle ABA_{1 }$
$sin\angle ABA_{1 } = sin(45^\circ + \gamma) = sin45^\circ.cos\gamma + cos45^\circ.sin\gamma = \frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{6}(\sqrt{7} + \sqrt{2})$
$AA_{1 } = 2\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{6}(\sqrt{7} + \sqrt{2}) = \frac{2}{3}(\sqrt{7} + \sqrt{2})$
От $\triangle BCC_{1 } \rightarrow \frac{CC_{1 }}{BC} = sin\angle CBC_{1 }$
$\angle CBC_{1 } = \angle ABA_{1 }$ (връхни) $\Rightarrow sin\angle CBC_{1 } = \frac{\sqrt{2}}{6}(\sqrt{7} + \sqrt{2})$
$CC_{1 } = BC.sin\angle CBC_{1 } \Rightarrow CC_{1 } = 3\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{6}(\sqrt{7} + \sqrt{2}) = (\sqrt{7} + \sqrt{2})$
От $\triangle BB_{1 }C \rightarrow \frac{BB_{1 }}{BC} = sin\gamma \Leftrightarrow BB_{1 } = 3\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{3} \Rightarrow BB_{1 } = 2$
За височините получихме: $$AA_{1 } = \frac{2}{3}(\sqrt{7} + \sqrt{2}) , BB_{1 } = 2 , CC_{1 } = (\sqrt{7} + \sqrt{2})$$