Да се намери радиусът на описаната около BDE окръжност

[moni2003petrova]

Страните на ABC са: BC=20см, AC=30cм, AB=25см.Върху AB е взета т.D така, че BD=4см, а върху BC - т.Е така, че ∠BDE=∠ACB. Да се намери радиусът на описаната около [tex]\triangle[/tex]BDE окръжност.

[S.B.]

Без заглавие (33).png (211.36 KiB) Прегледано 378 пъти

Страните на ABC са: BC=20см, AC=30cм, AB=25см.Върху AB е взета т.D така, че BD=4см, а върху BC - т.Е така, че ∠BDE=∠ACB. Да се намери радиусът на описаната около [tex]\triangle[/tex]BDE окръжност.

[tex]\angle BDE = \angle ACB = \gamma , \angle DBE = \angle ABC = \beta \Rightarrow \angle DEB = \angle BEC = \alpha[/tex]
За $\triangle ABC$ прилагам косинусова теорема : $cos\alpha = \frac{AC^{2} - AB^{2} - BC^{2}}{- 2.AB.BC} = \frac{20^{2} - 25^{2} - 30^{2}}{- 2.25.30} = \frac{3}{4} $
$ sin\alpha = \sqrt{1 - cos^{2}\alpha} = \frac{\sqrt{7}}{4}$
За $\triangle BDE$ прилагам синусова теорема :$\displaystyle\frac{BD}{sin\alpha} = 2R \Rightarrow R = \displaystyle\frac{BD}{2sin\alpha} = \displaystyle\frac{4}{2\displaystyle\frac{\sqrt{7}}{4}} = \displaystyle\frac{8\sqrt{7}}{7}$

[moni2003petrova]

а без косинусова?

[S.B.]

а без косинусова?

Знаеш трите страни на [tex]\triangle ABC[/tex]:
Намираш по Херонова формула лицето на триъгълника:
$S_{ABC } = \sqrt{\frac{75}{2}(\frac{75}{2} - 30)(\frac{75}{2} - 25)(\frac{75}{2} - 20)} = \sqrt{\frac{75}{2}.\frac{15}{2}.\frac{25}{2}.\frac{35}{2}} = \frac{375}{4}\sqrt{7}$
$S_{ABC } = \frac{AB.h_{c }}{2} \Leftrightarrow \frac{375}{4}\sqrt{7} = \frac{25.h_{c }}{2} \Rightarrow h_{c } = \frac{15\sqrt{7}}{2}$
$\displaystyle\frac{h_{c }}{AC} = sin\alpha \Rightarrow sin\alpha = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{15\sqrt{7}}{2}}{30} = \displaystyle\frac{\sqrt{7}}{4}$
И прилагаш синусова теорема за $\triangle BDE$