тригонометрия

[moni2003petrova]

Около окръжност с радиус r е описан равнобедрен трапец с остър ъгъл [tex]\alpha[/tex]. Около трапеца е описана окръжност, чийто радиус търсим.

[S.B.]

Без заглавие (30).png (281.72 KiB) Прегледано 366 пъти

Около окръжност с радиус r е описан равнобедрен трапец с остър ъгъл [tex]\alpha[/tex]. Около трапеца е описана окръжност, чийто радиус търсим.

От [tex]\triangle AHD \rightarrow \frac{DH}{AD} = sin\alpha \Leftrightarrow \frac{2r}{c} = sin\alpha \Rightarrow c = \frac{2r}{sin\alpha}[/tex]
Трапецът е описан около окръжност $\Rightarrow AB + CD = AD + BC \Leftrightarrow a + b = 2c \Leftrightarrow \frac{a + b}{2} = c \Rightarrow \frac{a + b}{2} = \frac{2r}{sin\alpha}$
За $\triangle BHD \rightarrow BD = \sqrt{DH^{2} + BH^{2}} = \sqrt{4r^{2} + \frac{4r^{2}}{sin^{2}\alpha}} = \frac{2r}{sin\alpha}\sqrt{sin^{2} + 1}$

За $\triangle ABD$ прилагам синусова теорема $\frac{BD}{sin\alpha} = 2R \Leftrightarrow R = \frac{BD}{2sin\alpha}$
$$R = \frac{r\sqrt{sin^{2}\alpha + 1}}{sin^{2}\alpha}$$