Проблеми при тригонометрично уравнение

[konstantin1010]

Да се намерят числата [tex]\alpha[/tex] от интервала {2п;3п}, за които 2tg^3a - tg^2a=1

[S.B.]

Да се намерят числата [tex]\alpha[/tex] от интервала {2п;3п}, за които$ 2tg^3a - tg^2a=1$

[tex]2tg^{3}\alpha - tg^{2}\alpha = 1 \Leftrightarrow (tg^{3}\alpha - tg^{2}\alpha) + (tg^{3}\alpha - 1) = 0 \Leftrightarrow[/tex]
$tg^{2}\alpha(tg\alpha - 1) + (tg\alpha - 1)(tg^{2}\alpha + tg\alpha + 1) = 0 \Leftrightarrow (tg\alpha - 1)(2tg^{2}\alpha + tg\alpha + 1) = 0$
$ tg\alpha - 1 = 0 \cup 2tg^{2}\alpha + tg\alpha + 1 = 0$
Второто уравнение няма решение в областта на реалните числа защото $D = 1 - 8 = -7 < 0$
Остава само $tg\alpha - 1 = 0 \Leftrightarrow tg\alpha = 1 \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{4} + k\pi , k\in Z$
$\alpha = \frac{\pi}{4} + k\pi \Leftrightarrow \alpha = \frac{\pi}{4}(1 + 4k)$
По условие трябва $\alpha \in [2\pi ; 3\pi] \Rightarrow$
[tex]\begin{array}{|l} \alpha \ge 2\pi\\ \alpha \le 3\pi\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} \displaystyle\frac{\pi}{4}(1 + 4к)\ge 2\pi\\ \displaystyle\frac{\pi}{4}(1 + 4к)\le 3\pi\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 1 + 4k \ge 8\\ 1 + 4k \le 12\end{array} \begin{array}{|l} k\ge \displaystyle\frac{7}{4} = 1,75\\ k\le \displaystyle\frac{11}{4} = 2,75\end{array}[/tex]
Отговорът е :$\alpha = \frac{\pi}{4}(1 + 4к)$ ,като за $k$ е изпълнено $1,75 \le k \le 2,75 $,но $ k\in Z \Rightarrow k = 2$