Синусова теорема задача

[Marymary1208]

Равнобедрен [tex]\triangle[/tex]ABC с ъгъл при върха 30° има основа AB=12 см. Върху бедрото BC е взета точка D така, че <CAD=<DAB= 1:4. Намерете радиуса на описаната около [tex]\triangle[/tex]ABD окръжност.

[S.B.]

Без заглавие (72).png (240.64 KiB) Прегледано 847 пъти

Равнобедрен [tex]\triangle[/tex]ABC с ъгъл при върха 30° има основа AB=12 см. Върху бедрото BC е взета точка D така, че <CAD=<DAB= 1:4. Намерете радиуса на описаната около [tex]\triangle[/tex]ABD окръжност.

Равнобедрен триъгълник,с ъгъл при върха [tex]30^\circ[/tex] означава,че двата ъгъла при основата са по$75^\circ$
$\angle CAD : \angle DAB = 1 : 4 \rightarrow \angle CAD = x , \angle DAB = 4x, x + 4x = 75^\circ \Leftrightarrow 5x = 75 \Rightarrow x = 15^\circ$
Получихме $\angle CAD = 15^\circ , \angle DAB = 60^\circ$
Тогава за ъглите в $\triangle ABD \rightarrow \angle DAB = 60^\circ ,\angle ABD = 75^\circ \Rightarrow \angle ADB = 45^\circ$
Прилагам Синусова теорема за $\triangle ABD$ :
$\displaystyle\frac{AB}{sin45^\circ} = 2R \Leftrightarrow \displaystyle\frac{12}{\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2R \Rightarrow$ $$ R = 6\sqrt{2}$$

[Marymary1208]

Много благодаря!