пресметнете без помощта на таблица

[Крисоко]

cos pi/10 * cos 3pi/10 =

[S.B.]

cos pi/10 * cos 3pi/10 =

[tex]\frac{\pi}{10} = 18^\circ ,\frac{3\pi}{10} = 54^\circ[/tex]
$cos18^\circ cos54^\circ = \frac{1}{2}[ cos(18^\circ - 54^\circ) + cos(18^\circ + 54^\circ)] = \frac{1}{2}[cos(- 36^\circ) + cos72^\circ] = \frac{1}{2}[cos36^\circ + cos72^\circ]$(1)
За да изчисля $cos36^\circ$ и $ cos72^\circ$ построявам равнобедрен $\triangle ABC$ с ъгли $72^\circ,72^\circ,36^\circ$ построявам ъглополовящата $AL, L \in BC$ и $LM \bot AC , M \in AC$

Без заглавие (25).png (284.42 KiB) Прегледано 377 пъти

От чертежа се вижда,че $\triangle ABL$ и $\triangle ALC$ са равнобедрени.
Нека $AB = x , BL = y$ Тогава и $AL = LC = x , MC = \frac{x + y}{2}$
От $\triangle MLC \rightarrow cos36^\circ = \frac{MC}{CL} \Leftrightarrow cos36^\circ = \frac{x + y}{2x} = \frac{1}{2}. ( 1 + \frac{y}{x})$ (2)
Или за да намеря $cos36^\circ$ трябва да намеря $\frac{y}{x}$
$\triangle ABL \approx \triangle ABC \Rightarrow \frac{AC}{AB} = \frac{AB}{BL} \Leftrightarrow \frac{x + y}{x} = \frac{x}{y} \Leftrightarrow x^{2} - xy - y^{2} = 0$
Получих хомогенно уравнение.$x \ne 0 , y\ne 0 \Rightarrow $ деля на $x^{2}$ и получавам $(\frac{y}{x})^{2} + \frac{y}{x} - 1 = 0$ и полагам $\frac{y}{x} = t$
$t^{2} + t - 1 = 0 ,D = 5 , t_{1,2 } = \frac{-1 \pm\sqrt{5}}{2} $ , но $\frac{y}{x} > 0 \Rightarrow \frac{y}{x} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$
От (2) $ \rightarrow cos36^\circ = \frac{1}{2}(1 + \frac{y}{x}) = \frac{1}{2}.(1 + \frac{\sqrt{5 - 1}}{2} )... = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$
От $cos^{2}36^\circ = \frac{1 + cos72^\circ}{2} \Rightarrow cos72^\circ = 2cos^{2}36 - 1\Rightarrow ....cos72^\circ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$
От (1) $\rightarrow cos\frac{\pi}{10}.cos\frac{3\pi}{10} = \frac{1}{2}[cos36^\circ + cos72^\circ] = \frac{1}{2}[\frac{1 + \sqrt{5}}{4} + \frac{\sqrt{5} - 1}{4}] = \frac{1}{2}\frac{2\sqrt{5}}{4} = \frac{\sqrt{5}}{4}$