Уравнения

[Крисоко]

Първата задачко по логика я докарах, че няма решение. Търся помощ за 2-рата, 3-тата и 4-тата. Интересно ми е в 3-тата задача tg((3pi/4)*x) дали е печатна грешка за tg(3pi/4 - x) и ако не е бих се зарадвал на малко обяснение как работят такъв вид конструкци.

[Hephaestus]

б) [tex]sinxcos4x=1[/tex]

Знаем, че стойностите на функциите синус и косинус са ограничени в интервала [tex][-1;1][/tex].

Тогава [tex]sinxcos4x=1[/tex] ще е изпълнено точно тогава, когато двата множителя едновременно са равни на 1, т.е. [tex]sinx=1[/tex] и [tex]cos4x=1[/tex].

[tex]sinx=1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}+2k\pi, k\in Z[/tex]. Тогава [tex]cos4x=cos(4(\frac{\pi}{2}+2k\pi)) = cos(2\pi + 8k\pi)=1[/tex], т.е. при [tex]x = \frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex] условието [tex]cos4x=1[/tex] винаги е изпълнено.

Следователно [tex]x = \frac{\pi}{2}+2k\pi,k\in Z,[/tex] е решение на задачата и други решения няма.

[Hephaestus]

За в) подточка, да, мисля, че при самото печатане е излязло като удължена дробна черта, но според мен би трябвало да си е знак "[tex]-[/tex]" между двата аргумента [tex]\frac{3\pi}{4}[/tex] и [tex]x[/tex].

в) [tex]tg2x - tg(\frac{3\pi}{4}-x)=0[/tex]

[tex]\frac{sin2x}{cos2x} - \frac{sin(\frac{3\pi}{4}-x)}{cos(\frac{3\pi}{4}-x)} = 0[/tex]

[tex]\frac{sin2x}{cos2x} - \frac{sin(\frac{3\pi}{4})cosx-cos(\frac{3\pi}{4})sinx}{cos(\frac{3\pi}{4})cosx+sin(\frac{3\pi}{4})sinx} = 0[/tex]

[tex]\frac{sin2x}{cos^{2}x - sin^{2}x} - \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}cosx+\frac{\sqrt{2}}{2}sinx}{\frac{-\sqrt{2}}{2}cosx+\frac{\sqrt{2}}{2}sinx} = 0[/tex]

[tex]\frac{sin2x}{(cosx-sinx)(cosx+sinx)} + \frac{cosx+sinx}{cosx-sinx} = 0[/tex]

[tex]\frac{sin2x+(cosx+sinx)^{2}}{(cosx-sinx)(cosx+sinx)} = 0[/tex]

[tex]\frac{sin2x+cosx^{2}x+2sinxcosx+sin^{2}x}{(cosx-sinx)(cosx+sinx)} = 0[/tex]

[tex]\frac{sin2x+sin2x+sin^{2}x+cosx^{2}x}{(cosx-sinx)(cosx+sinx)} = 0[/tex]

[tex]\frac{2sin2x+1}{(cosx-sinx)(cosx+sinx)} = 0[/tex]

Преди да се освободим от знаменателя, трябва да определим допустимите стойности:
[tex]\begin{array}{|l} cosx-sinx \ne 0 \\ cosx + sinx \ne 0 \end{array}[/tex]

[tex]cosx - sinx \ne 0 \Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}cosx - \frac{\sqrt{2}}{2}sinx \ne 0 \Leftrightarrow cos(x+\frac{\pi}{4}) \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi}{4}+k\pi,k\in Z[/tex]

Аналогично, имаме [tex]cosx + sinx \ne 0 \Leftrightarrow sin(x+\frac{\pi}{4}) \ne 0 \Leftrightarrow x \ne -\frac{\pi}{4}+l\pi,l\in Z[/tex]

Допустимите стойности могат да се обединят и тогава ДС: [tex]x \ne -\frac{\pi}{4}+\frac{s\pi}{2},s\in Z[/tex]

Остава да решим уравнението: [tex]2sin2x+1=0[/tex]. Имаме [tex]sin2x=-\frac{1}{2}=sin(-\frac{\pi}{6})[/tex], т.е. решенията са

[tex]2x = -\frac{\pi}{6} + 2m\pi \Rightarrow x = -\frac{\pi}{12} + m\pi \in[/tex] ДС и [tex]2x = \pi + \frac{\pi}{6} + 2n\pi \Rightarrow x = \frac{7\pi}{12} + n\pi \in[/tex] ДС

[Hephaestus]

За г) подточка използвай формулата [tex]cos\alpha - cos\beta = -2sin\frac{\alpha+\beta}{2}sin\frac{\alpha-\beta}{2}[/tex].

Полученото уравнение се решава по аналогичен начин на а) и б).

[Добромир Глухаров]

в) $tg2x=tg\left(\frac{3\pi}{4}-x\right)$

Периодът на $tg(u)$ е $T=\pi$

$\Rightarrow2x=\frac{3\pi}{4}-x+k\pi$

$3x=\frac{3\pi}{4}+k\pi$

$x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{3};\ k\neq3l,\ l\in\mathbb{Z}$

Разбира се, отговорите на Hephaestus са същите, просто са записани по друг начин.

[Hephaestus]

Решението на колегата Добромир Глухаров е доста по-приятно и елегантно, докато моето е с доста "груба сила" както се вика. Съветвам да се разгледа неговото решение, а моето - само ако човек има желание да изтренира някои формули и преобразувания Обединил съм резултатите за ДС, но не съм обединил крайните решения, което също е възможно - получава се точно отговорът на колегата.