Синус и косинус в знаменател

[KOPMOPAH]

Да се реши уравнението:$$\frac 1{\sin x}-\frac 1{\cos x}=1$$

[Davids]

ДС: $x \ne \frac{k\pi} {2}$

Даденото освобождаваме от знаменател и получаваме:
$cosx - sinx = sinxcosx$

Вдигаме двете страни на квадрат (внимателно, имаме го предвид), получаваме:
$cos^2x - 2sinxcosx + sin^2x = (sinxcosx)^2$

Основно тригонометрично тъждество, полагаме $t = sinxcosx$ и получаваме:
$t^2 + 2t - 1 = 0$
$\Rightarrow t_1 = - 1-\sqrt{2}$
$t_2 = - 1+\sqrt{2}$

Но също важи $t = sinxcosx = cosx - sinx \ge - 2 > - 1-\sqrt{2}$, така че само $t = \sqrt{2}-1$ ни устройва.

Окончателно взимаме предвид, че:
$t = \frac{1}{2}sin2x = \sqrt{2} - 1$
$\Rightarrow sin2x = 2(\sqrt{2} - 1)$

Откъдето би трябвало решенията да са:
$x_1 = \frac{1}{2}arcsin(2\sqrt{2} - 2) + k\pi$
$x_2 = -\frac{1}{2}arcsin(2\sqrt{2} - 2) + (k + \frac{1}{2})\pi$

Само че не всички решения на уравнението $sin2x = 2(\sqrt{2}-1)$ са решения на нашето инициално уравнение. Тепърва предстои да разбера защо.

Реално решенията са:
$x_1 = \frac{1}{2}arcsin(2\sqrt{2} - 2) + 2k\pi$
$x_2 = -\frac{1}{2}arcsin(2\sqrt{2} - 2) + (2k - \frac{1}{2})\pi$

Които са половината от безкрайните решения на уравнението $sin2x = 2(\sqrt{2}-1)$. Сега не успях да проумея точно защо, но ще го помисля още утре.

[Davids]

Друг, в случая по-детерминистичен, но малко по-сложен за изчисление подход към задачата предоставят класическите субституции за синус и косинус чрез тангенс от половинка ъгъл:
$sinx = \frac{2tg\frac{x}{2}}{1 + tg^2\frac{x}{2}}$

$cosx = \frac{1 - tg^2\frac{x}{2}}{1 + tg^2\frac{x}{2}}$

Чрез директно заместване получаваме уравнението:
$\frac{1 + tg^2\frac{x}{2}}{2tg\frac{x}{2}} - \frac{1 + tg^2\frac{x}{2}}{1 - tg^2\frac{x}{2}} = 1$

Полагаме $t = tg\frac{x}{2}$, привеждаме под общ знаменател и получаваме уравнението:
$t^4 + 4t - 1 = 0$

Решения са $t = \frac{-1 \pm \sqrt{2\sqrt{2} - 1}}{\sqrt{2}}$, следователно решения на даденото в началото уравнение са $x = 2arctg(\frac{-1 \pm \sqrt{2\sqrt{2} - 1}}{\sqrt{2}}) + 2k\pi, k \in \Z$

Ето една бърза графика за онагледяване: https://www.desmos.com/calculator/4xhhgssli0

Позабавлявах се със задачата, благодаря!

[vezni]

ДС: $x \ne \frac{k\pi} {2}$

Откъдето би трябвало решенията да са:
$x_1 = \frac{1}{2}arcsin(2\sqrt{2} - 2) + k\pi$
$x_2 = -\frac{1}{2}arcsin(2\sqrt{2} - 2) + (k + \frac{1}{2})\pi$

Само че не всички решения на уравнението $sin2x = 2(\sqrt{2}-1)$ са решения на нашето инициално уравнение. Тепърва предстои да разбера защо.

Защото при повдигане на квадрат не се получава еквивалентно уравнение освен ако двете страни не са с еднакви знаци. В случая за получените стойности е изпълнено [tex]\sin x\cos x=\sqrt{2}-1>0[/tex]. Дясната страна е полож., значи и лявата трябва да е полож. Тоест трябва да провериш за кои от тези стойности важи [tex]\cos x-\sin x>0 \Leftrightarrow \sqrt 2\cos\left(x+\frac \pi 4\right)>0 \Leftrightarrow x\in\left(-\frac{3\pi}{4}+2k\pi;\frac{\pi}{4}+2k\pi \right)[/tex]