Тригонометрично уравнение

[S.B.]

Решете уравнението:
$$2sin^{2}x + (1 - \sqrt{3})sin2x - \sqrt{3}cos2x - \sqrt{3} = 0$$

[Davids]

Първо една улеснителна сметка:
$-\sqrt{3}cos2x - \sqrt{3} = -\sqrt{3}(cos2x + 1) = -\sqrt{3}(2cos^2x -1 + 1) = -2\sqrt{3}cos^2x$

Така даденото е еквивалентно на:
$2sin^2x + (1 - \sqrt{3})sin2x - 2\sqrt{3}cos^2x = 0$

Изразяваме $sin2x = 2sinxcosx$, делим на две и получаваме:
$sin^2x + (1 - \sqrt{3})sinxcosx - \sqrt{3}cos^2x = 0$

Правим уговорката, че $cosx \ne 0$ (което не ни отнема решения, защото тогава уравнението става $sinx = 0$, а такъв ъгъл няма), делим двете страни на $cos^2x$, полагаме $t = tgx$ и получаваме:
$t^2 + (1 - \sqrt{3})t - \sqrt{3} = 0$

Решения са:
$t_1 = -1 \Rightarrow x_1 = (k + \frac{3}{4})\pi$
$t_2 = \sqrt{3} \Rightarrow x_2 = (k + \frac{1}{3})\pi$

където $k \in \Z$.

Ето и една онагледяваща графика: https://www.desmos.com/calculator/jq7aguqvmn