За любителите на тригонометрични уравнения

[S.B.]

Да се реши уравнението:
$$sin7x + cos2x = -2$$

[peyo]

Да се реши уравнението:
$$sin7x + cos2x = -2$$

За да стане сбора -2 трябва $sin7x=-1$ и $ cos2x = -1$

Значи:
[tex]\begin{array}{|l}
7x = 3\pi/2 + k2\pi \\
2x = \pi + p2\pi \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} x = 3\pi/14 + k2\pi/7 \\
x = \pi/2 + p\pi \end{array}[/tex]

Стигаме до:
$ \pi/2 + p\pi = 3\pi/14 + k2\pi/7$
И на това трябва да му намерим решения в цели числа.

$ 1/2 + p = 3/14 + k2/7$
$ p = -2/7 + 2k/7$
$ p = (k-1)2/7$
Значи трябва $k= t*7+1$

$x = 3\pi/14 + (7t+1)2\pi/7$
$x = 3\pi/14 + 2t\pi+2\pi/7$

Или в крайна сметка:
$ x = \pi/2 + 2t\pi$ където $t = ...-2,-1,0,1,2...$

[Davids]

Сега видях, че peyo ме е изпреварил. Добре е, че решенията ни са еднакви.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Щедро улеснение представлява фактът, че събираме синус и косинус до -2, което означава, че единствен възможен такъв сценарий имаме при $sin7x = cos2x = -1$, т.е.:
[tex]\begin{array}{|l} 7x = \frac{3}{2}\pi + 2k\pi \\ 2x = \pi + 2k\pi \end{array}[/tex]
$\Leftrightarrow$
$\begin{array}{|l} x = \frac{1}{7}(\frac{3}{2} + 2k)\pi \\ x = \frac{2k + 1}{2}\pi \end{array}$

За да намерим сечението на двете решения, трябва да намерим всички коефициенти, които могат да бъдат изразени и като $\frac{1}{7}(\frac{3}{2} + 2k)$, и като $\frac{1}{2}(2n + 1)$ за цели числа $k, n \in \Z$.
Приравняваме двата вида и извеждаме $n = \frac{2}{7}(k - 1) \Leftrightarrow k = \frac{7}{2}n + 1$, тоест, за да са цели числа, или $7|k - 1 \Rightarrow k = 7p + 1$, или $2|n \Rightarrow n = 2p$ за $p\in \Z$.

С това предвид, общото решение на уравнението придобива вида $x = \frac{1}{2}(4p + 1)\pi, p\in Z$

[S.B.]

Искам и аз да напиша нещо по решението
[tex]sin7x + cos2x = -2 \Leftrightarrow (sin7x + 1) + (cos2x + 1) = 0[/tex]
$ sin7x + 1 \ge 0 $ и $cos2x + 1 \ge 0$ за $\forall x $ ,а сборът на две неотрицателни функции може да бъде $0$ само тогава,когато и двете са $0$. Тогава уравнението е еквивалентно на следната система уравнения:
$\begin{array}{|l}sin7x + 1 = 0 \\ cos2x + 1 = 0 \end{array}$
и решенията на уравнението ще бъдат само общите решения на системата.
Нататък е както са решавали колегите.