За познавачите на тригонометрията

[KOPMOPAH]

Да се реши уравнението:
$$8 - 3\cos4x =\frac{ 5 }{ 3 - 2 \sin x }$$

[peyo]

$8 - 3\cos4x =\frac{ 5 }{ 3 - 2 \sin x }$

Да видим дали можем да намерим отговора по метода на отгатването.

Прави ни впечатление, че лявата страна $8 - 3\cos4x$ може да мъде минимално 5 когато cos е 1. А дясната страна $\frac{ 5 }{ 3 - 2 \sin x }$ може да бъде максимално 5 когато sin е 1. Това за да има въобще решение трябва да се срещнат двете страни при 5 или новото еквивалентно 3уравнение е:

$cos4x = sin x = 1$

И сега да се опитаме да намерим x без да решавамe уравнението като просто отгатнем отговора и добавим $+2k\pi$
За sin да е 1 x трябва да е $\pi/2$. Да видим дали това не е и решение за cos:
$cos4\pi/2 = cos 2\pi = 1$

Решение е! За късмет познахме отговора от първия път! И така всички решения са:

$x = \pi/2 + 2k\pi$

[Евва]

[ 8-3(1-2[tex]sin^{2}[/tex]2x) ][3-2sinx]=5

[ 5+6(4[tex]sin^{2}[/tex]x.[tex]cos^{2}[/tex]x) ][3-2sinx]=5

[ 5+24[tex]sin^{2}[/tex]x(1-[tex]sin^{2}[/tex]x) ][3-2sinx]=5

(5+24[tex]sin^{2}[/tex]x-24[tex]sin^{4}[/tex]x)(3-2sinx)=5 полагаме a=sinx

15-10a+72[tex]a^{2}[/tex]-48[tex]a^{3}[/tex]-72[tex]a^{4}[/tex]+48[tex]a^{5}[/tex]-5=0

(48[tex]a^{5}[/tex]-48[tex]a^{3}[/tex])+(72[tex]a^{2}[/tex]-72[tex]a^{4}[/tex])+(10-10a)=0

48[tex]a^{3}[/tex]([tex]a^{2}[/tex]-1) -72[tex]a^{2}[/tex]([tex]a^{2}[/tex]-1) -10(a-1) =0

48[tex]a^{3}[/tex](a+1)(a-1)-72[tex]a^{2}[/tex](a+1)(a-1)-10(a-1)=0

(a-1)(48[tex]a^{4}[/tex]+48[tex]a^{3}[/tex]-72[tex]a^{3}[/tex]-72[tex]a^{2}[/tex]-10)=0

(a-1)(48[tex]a^{4}[/tex]-24[tex]a^{3}[/tex]-72[tex]a^{2}[/tex]-10)=0

а=1 е корен т.е. sinx=1 [tex]\Rightarrow[/tex] x=[tex]\frac{\pi}{2}[/tex]+2k[tex]\pi[/tex]

Но как да докажем,че няма други корени а[tex]\in[/tex][-1;1]

[peyo]

(a-1)(48[tex]a^{4}[/tex]-24[tex]a^{3}[/tex]-72[tex]a^{2}[/tex]-10)=0

а=1 е корен т.е. sinx=1 [tex]\Rightarrow[/tex] x=[tex]\frac{\pi}{2}[/tex]+2k[tex]\pi[/tex]

Но как да докажем,че няма други корени а[tex]\in[/tex][-1;1]

Освен да го решим и да видим, че другите корени са по-големи по модул от 1 и така не са решения:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=48x%5E4-24x%5E3-72x%5E2-10%3D0

Real solutions:
x≈-1.0707
x≈1.5349

[Евва]

Знам,че компютърът може да намери корените .
Въпросът е как ние без компютър да ги намерим.

[Добромир Глухаров]

Знам,че компютърът може да намери корените .
Въпросът е как ние без компютър да ги намерим.

Мисля, че ТУК е обяснено.

А ето и на РУСКИ.