Помощ задача: опростете израза

[Гост]

Здравейте ще можете ли да ми помогнете с решението на следната задача: Опростете израза: cosa+cos2a+cos3a+cos4a
(a-има се предвид алфа)

[S.B.]

Здравейте ще можете ли да ми помогнете с решението на следната задача: Опростете израза: cosa+cos2a+cos3a+cos4a
(a-има се предвид алфа)

[tex]cos\alpha + cos2\alpha + cos3\alpha + cos4\alpha =[/tex]

$ = (cos\alpha + cos3\alpha) + (cos2\alpha + cos4\alpha) =$

$ = 2cos\frac{4\alpha}{2}.cos( - \frac{2\alpha}{2}) + 2cos\frac{6\alpha}{2}.cos(-\frac{2\alpha}{2}) =$

$ = 2cos2\alpha.cos\alpha + 2cos3\alpha.cos\alpha = $

$= 2cos\alpha(cos2\alpha + cos3\alpha) = $

$= 2cos\alpha.2cos\frac{5\alpha}{2}.cos\frac{\alpha}{2} = $

$= 4cos\frac{5\alpha}{2}.cos\alpha.cos\frac{\alpha}{2}$

[KOPMOPAH]

Използвай формулата:$$ \cos \alpha+ \cos \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}2 \cos \frac{\alpha-\beta}2$$Групираш първия и последния косинус и вътрешните два. Става:$$\cos \alpha+ \cos 4\alpha+\cos 2\alpha+ \cos 3\alpha=2 \cos \frac{5\alpha}2 \cos \frac{-3\alpha}2+2 \cos \frac{5\alpha}2 \cos \frac{-\alpha}2$$Известно е, че косинусът е четна функция, значи минусите в числителите могат да изчезнат с цел минимизиране на вероятността за грешка. Вадим пред скоби общите коефициенти и получаваме:$$2 \cos \frac{5\alpha}2 \left(\cos \frac{3\alpha}2+\cos \frac{\alpha}2\right)$$За израза в скобите пак използваме формулата за сума на косинуси и става:$$2 \cos \frac{5\alpha}2 \left(2 \cos \frac{4\alpha}4 \cos \frac{2\alpha}4 \right)=4\cos \frac{5\alpha}2 \cos \alpha \cos \frac{\alpha}2$$