Тригонометрични функции на един и същ остър ъгъл

[Меди]

Изразете чрез $\operatorname{tg}{\gamma}$ и $\operatorname{cotg}{\gamma}$ дробта $\dfrac{1}{\sin^2\gamma\cdot\cos^2\gamma}.$

Скрит текст: покажи

Отг. $\operatorname{tg^2}{\gamma}+\operatorname{cotg^2}{\gamma}+2$

Може ли някакъв джокер? Опитах се да запиша $\sin^2\gamma$ и $\cos^2\gamma$ съответно като $\dfrac{cos^2\gamma}{\operatorname{cotg^2}{\gamma}}$ и $\dfrac{sin^2\gamma}{\operatorname{tg^2}{\gamma}},$ но не мисля, че това е правилната посока.

[math10.com]

[tex]\frac{1}{sin^2\gamma.cos^2\gamma}=\frac{(sin^2\gamma+cos^2\gamma)^2}{sin^2\gamma.cos^2\gamma}=\frac{sin^4\gamma}{sin^2\gamma.cos^2\gamma}+\frac{2sin^2\gamma.cos^2\gamma}{sin^2\gamma.cos^2\gamma}+\frac{cos^4\gamma}{sin^2\gamma.cos^2\gamma}=[/tex]

[tex]=\frac{sin^2\gamma}{cos^2\gamma}+\frac{cos^2\gamma}{sin^2\gamma}+2=tg^2\gamma+cotg^2\gamma+2[/tex]

[Меди]

[tex]\frac{1}{sin^2\gamma.cos^2\gamma}=\frac{(sin^2\gamma+cos^2\gamma)^2}{sin^2\gamma.cos^2\gamma}=\frac{sin^4\gamma}{sin^2\gamma.cos^2\gamma}+\frac{2sin^2\gamma.cos^2\gamma}{sin^2\gamma.cos^2\gamma}+\frac{cos^4\gamma}{sin^2\gamma.cos^2\gamma}=[/tex]

[tex]=\frac{sin^2\gamma}{cos^2\gamma}+\frac{cos^2\gamma}{sin^2\gamma}+2=tg^2\gamma+cotg^2\gamma+2[/tex]

Благодаря за решението! Не зная дали често се замества $1$ със $\sin^2\gamma+\cos^2\gamma$ при решаването на подобни задачи, но в случая работи:
$$\dfrac{1}{\sin^2\gamma\cdot\cos^2\gamma}=\dfrac{\sin^2\gamma+\cos^2\gamma}{\sin^2\gamma\cdot\cos^2\gamma}=\dfrac{1}{\cos^2\gamma}+\dfrac{1}{\sin^2\gamma}=\dfrac{\sin^2\gamma+\cos^2\gamma}{\cos^2\gamma}+\dfrac{\sin^2\gamma+\cos^2\gamma}{\sin^2\gamma}=\operatorname{tg^2}{\gamma}+\operatorname{cotg^2}{\gamma}+2.$$
Как може да се сетя, че е удобно да запиша $1$ като $(\sin^2\gamma+\cos^2\gamma)^2$ в конкретната задача?