Да се решат тригонометриичните уравнения

[Leni191989]

Да се решат тригонометриичните уравнения:
а) 3+tgx-3sinx=sinx.tgx
б) (sinx-√3cosx)sin3x=2

[Davids]

a) $3 + tgx - 3sinx = sinxtgx$
$\Leftrightarrow (3 + tgx)(1 - sinx) = 0$

I) сл.: $sinx = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, което обаче не е решение, понеже точно тогава $tgx$ не е дефиниран ($cosx = 0$)
II) сл.: $tgx = -3 \Leftrightarrow x = arctg(-3) + k\pi$, което ни остава единствено решение.

б) $(sinx - \sqrt{3}cosx)sin3x = 2$
$2(\frac{1}{2}sinx - \frac{\sqrt{3}}{2}cosx)sin3x = 2$
$sin(x - \frac{\pi}{3})sin3x = 1$
$\frac{1}{2}(cos(x - \frac{\pi}{3} - 3x) - cos(x - \frac{\pi}{3} + 3x)) = 1$
$cos(2x + \frac{\pi}{3}) - cos(4x - \frac{\pi}{3}) = 2$

Понеже имаме разлика от тригонометрични функции, равна на 2, то единствено решение е в случая:
[tex]\begin{array}{|l} cos(2x + \frac{\pi}{3}) = 1 \\ cos(4x - \frac{\pi}{3}) = -1 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 2x + \frac{\pi}{3} = 2k\pi \\ 4x - \frac{\pi}{3} = (2k + 1)\pi \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x = \frac{\pi}{2}(2k - \frac{1}{3}) \\ x = \frac{\pi}{2}(n + \frac{2}{3}) \end{array}[/tex]

Общият вид на решението намираме като приравним десния множител на двата общи вида, които сечем:
$2k - \frac{1}{3} = n + \frac{2}{3} \Rightarrow k = \frac{n + 1}{2}$, значи $2|n + 1 \Rightarrow n = 2p + 1, p \in \N_0$. Връщаме се горе и окончателното решение е:
$\boxed{x = \frac{\pi}{2}(2p + \frac{5}{3})}$ за $p\in \N_0$