тригонометриичните уравнения

[Leni191989]

a) 2sin²x+(1-√3).sin2x-√3cos2x-√3=0
b) cos²x/3+cos²x/2=0

[Knowledge Greedy]

a)
Поради еднаквия множител - [tex]\sqrt{3}[/tex] пред последните две събираеми, леко хомогенизираме

[tex]2sin^2x+2(1-\sqrt{3})sinxcosx-2(1+\sqrt{3)}cos^2x=0[/tex]

и решаваме относно [tex]tgx =t[/tex] уравнението

[tex]t^2+(1-\sqrt{3})t-(1+\sqrt{3}=0[/tex]

Но за съжаление, корените му не са реални поради [tex]D=(1-\sqrt{3})^2+4(1+\sqrt{3}=8-6\sqrt{3}<0[/tex] и ... спираме дотук. Няма реални корени.

б)
Почти очевидна - че няма решение. Но трябва да го докажем.
Заради двата квадрата се налага да решаваме системата [tex]\begin{array}{|l} cos^2\frac{x}{3}=0 \\ cos^2\frac{x}{2}=0 \end{array}[/tex]
Още веднъж причината: всеки квадрат [tex]K^2 \,\ \ge 0[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} cos^2\frac{x}{3}=0 \\ cos^2\frac{x}{2}=0 \end{array} \,\ \Rightarrow \,\ \begin{array}{|l} \frac{x}{3} = (2k+1)\frac{\pi}{2} \\ \frac{x}{2} = (2m+1)\frac{\pi}{2} \end{array}[/tex]

Въпросът е, има ли такива цели [tex]k[/tex] и [tex]m[/tex], за които да съществува реално [tex]x[/tex], удовлетворяващо системата.

Изключваме x - като приравняваме двете десни страни на уравненията, предварително умножавайки първото с [tex]6[/tex], а второто с [tex]4[/tex]. (Респективно - изваждаме почленно двете уравнения.)
Получава се невъзможна зависимост между цели числа.

[tex]3(2k+1)=2(2m+1)[/tex] - лявата страна е произведение на нечетни, което е нечетно винаги; а дясната страна е четно.