Тригонометрични уравнения

[Гост]

а)

11.jpg (4.13 KiB) Прегледано 530 пъти

б) sin x . sin 2x. sin 3x = 1/4 sin 4x

[Knowledge Greedy]

а) След полагане [tex]\sqrt{cos2x}=t[/tex]
като ограничаваме [tex]0\le t \le 1[/tex]

и уравнението добива вида [tex](1-t)t(t^2+t+2)=0[/tex], с очакваните от самото начало [tex]t=1[/tex] или [tex]t=0[/tex]

От което следва, че всички решения са две групи: [tex]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/tex] и [tex]x=m\pi[/tex] ,
където [tex]k[/tex] и [tex]m[/tex] обхождат целите числа.

б) След групиране и формула за синус на двоен ъгъл [tex](sinx.sin3x)sin2x=\frac{1}{4}.2sin2xcos2x[/tex],

формула за произведение на синуси - във вид на сбор [tex]\frac{1}{2}[cos(x-3x)cos(x+3x)]=\frac{1}{2}.sin2xcos2x[/tex],

умножаване по две и изнасяне на общ множител s[tex]in2x[/tex] - след прехвърляне ( използваме читността cos(-2x)=cos2x на косинуса):

[tex]Sin2x(cos2x-cos4x-cos2x)=0[/tex] ,

Полученото уравнение се разпада на съвкупност от две възможности [tex]\left\{\begin{matrix}
sin2x=0 \\
или \\
cos4x=0
\end{matrix}\right.[/tex],

откъдето - с обединяване на отговорите, се получава [tex]x=\frac{l\pi}{4}[/tex] при [tex]\forall l\in \mathbb{Z}[/tex]