Тригонометрични уравнения

[skadevil]

Здравейте! Ако може някакви опътвания за тези 2 задачи. Искам да ги сведа до основни тригонометрични уравнения
[tex]tg(x+30^\circ)=cotg3x[/tex]
[tex]2cos2x=\sqrt{3}cosx+sinx[/tex]

[S.B.]

Здравейте! Ако може някакви опътвания за тези 2 задачи. Искам да ги сведа до основни тригонометрични уравнения
[tex]tg(x+30^\circ)=cotg3x[/tex]
[tex]2cos2x=\sqrt{3}cosx+sinx[/tex]

1)
$tg(x + 30^\circ) = cotg3x \Leftrightarrow \frac{sin(x + 30^\circ)}{cos(x + 30^\circ} = \frac{cos3x}{sin3x} \Leftrightarrow$ (Привеждаш под общ знаменател)
$sin3x.sin(x + 30^\circ) = cos3x.cos(x + 30^\circ) \Leftrightarrow$ $cos3x.cos(x + 30^\circ) - sin3x.sin(x + 30^\circ) = 0 $
$cos(3x + x +30^\circ ) = 0 \Leftrightarrow $
$ cos(4x + \frac{\pi}{6} )= 0 \Rightarrow 4x + \frac{\pi}{6} = (2k+1)\frac{\pi}{2} \Rightarrow$
$ 4x = (2k+1) \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} \Rightarrow 4x = (k + \frac{1}{3})\pi \Rightarrow x = (k + \frac{1}{3})\frac{\pi}{4}$

2)
$2cos2x = \sqrt{3}.cosx + sinx$ Умножаваш двете страни по $\frac{1}{2}$ :

$cos2x = \frac{\sqrt{3}}{2}.cosx + \frac{1}{2}.sinx \Leftrightarrow cos2x = sin60^\circ.cosx + cos60^\circ.sinx \Leftrightarrow$

$cos2x = sin(60^\circ + x) \Leftrightarrow cos2x = cos[90^\circ - (60^\circ + x)] \Leftrightarrow cos2x = cos(30^\circ - x) \Leftrightarrow$

$cos2x - cos(30^\circ - x) = 0 \Leftrightarrow -2sin\frac{2x + 30^\circ - x}{2}sin\frac{2x - 30^\circ + x}{2} = 0 \Rightarrow$

$sin\frac{x + 30^\circ}{2} = 0 $ $\cup$ $sin\frac{3x - 30^\circ}{2} = 0$

$sin\frac{x + 30^\circ}{2} = 0 \Rightarrow \frac{x + 30^\circ}{2} = k\pi \Leftrightarrow x + \frac{\pi}{6} = 2k\pi \Rightarrow x = 2k\pi - \frac{\pi}{6} \Rightarrow x = (2k - \frac{1}{6})\pi$
$sin\frac{3x - 30^\circ}{2} = 0 \Rightarrow \frac{3x - 30^\circ}{2} = k\pi \Rightarrow 3x -\frac{\pi}{6} = 2k\pi \Leftrightarrow 3x = \pi(2k + \frac{1}{6} )\Rightarrow x = (2k + \frac{1}{6})\frac{\pi}{3}$

[skadevil]

Благодаря много!