Периодичност на тригонометричните функции

[Гост]

Моля, за някакви насоки относно следната задача:

[Добромир Глухаров]

$f(x)=\frac{sin(kx)}{sin\left(\frac{5x}{k}\right)}$

$x_1=x+3\pi$

$f(x_1)=f(x)$

$\frac{sin(k(x+3\pi))}{sin\left(\frac{5}{k}(x+3\pi)\right)}=\frac{sin(kx)}{sin\left(\frac{5x}{k}\right)}$

$\frac{sin(kx+3k\pi))}{sin\left(\frac{5x}{k}+\frac{15\pi}{k}\right)}=\frac{sin(kx)}{sin\left(\frac{5x}{k}\right)},\ k\in\mathbb{Z}$

Сега, колкото и да мисля, виждам само две възможности за периодичност - 1) аргументите на sin се изменят с кратно на $2\pi$ и така и числителят, и знаменателят на функцията запазват стойностите си

и 2) аргументите на sin се изменят с кратно на $\pi$ и така и числителят, и знаменателят на функцията едновременно обръщат знаците си, но запазват абсолютните си стойности и стойността на функцията не се променя.

Всъщност първата възможност се включва като решения във втората и може да не я разглеждаме специално, но все пак:

$\begin{array}{|l}3k\pi=2m\pi\\\frac{15\pi}{k}=2n\pi\end{array}$

Тук, обаче, като разделим $15\pi$ на цяло число, не можем да получим четно кратно на $\pi$: $\frac{15}{k}=2n\Rightarrow2kn=15$ - невъзможно при цели $k$ и $n$.

Първата възможност не ни доведе до решение.

Да видим втората:

$\begin{array}{|l}3k\pi=m\pi\\\frac{15\pi}{k}=n\pi\end{array}$

Тук видяхме, че $k$ не може да бъде четно, а трябва да бъде делител на $15$.

$k=\frac{m}{3}=\frac{15}{n}\in\mathbb{Z}$

$m.n=3.15=45$

$m=3k=\pm3;\ \pm9;\ \pm15;\ \pm45$
$n=\frac{15}{k}=\pm15;\ \pm5;\ \pm3;\ \pm1$

Окончателно $k\in\{\pm1;\ \pm3;\ \pm5;\ \pm15\}$

Може и да бъркам някъде, а може и да има още случаи на периодичност, например при различни периоди на числителя и знаменателя.