Стойността на

[Евва]

Ъглите на [tex]\triangle[/tex]АВС са [tex]\alpha[/tex] ,[tex]\beta[/tex] и [tex]\gamma[/tex] .
Ако sin[tex]\alpha[/tex]+sin[tex]\beta[/tex]=2sin[tex]\gamma[/tex], то стойността на 2tg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex].tg[tex]\frac{\beta}{2}[/tex] е ...

Скрит текст: покажи

Получих [tex]\frac{2}{3}[/tex] .

[Davids]

$sin\alpha + sin\beta = 2sin\gamma = 2sin(\pi - (\alpha + \beta)) = 2sin(\alpha + \beta) = 2(sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta)$

$\Rightarrow sin\alpha(1 - cos\beta) + sin\beta(1 - \cos\alpha) = \sin(\alpha + \beta)$

Ползваме, че $1 - \cos\alpha = 2\sin^2\frac{\alpha}{2}$ и също $\sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}$

$\Rightarrow 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}2\sin^2\frac{\beta}{2} + 2\sin\frac{\beta}{2}\cos\frac{\beta}{2}2\sin^2\frac{\alpha}{2} = 2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)$

Взимаме лявата страна:
$4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\left(\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2} + \cos\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\right) = 4\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)$

Връщаме се в уравнението:
$\cancel{4}2\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\cancel{\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)} = \cancel{2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)}\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)$

Понеже сме в триъгълник, то можем да умножим спокойно двете страни по $\frac{1}{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}}$, получавайки:
$2\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\beta}{2} = \frac{\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}} = \frac{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2} - \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}} = 1 - \tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\beta}{2}$

Получихме уравнение от вида $x = 1 - \frac{x}{2}$, откъдето вече тривиално следва, че:
$$\boxed{2\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\beta}{2} = \frac{2}{3}}$$
което се припокрива с предположението от подсказката.

[Евва]

Реших я по 2 различни начина ,като изпозвах и други формули освен тригонометричните .

[Евва]

a ,b ,c -страни на триъгълника
[tex]\frac{a}{sin\alpha}[/tex]=[tex]\frac{b}{sin\beta}[/tex]=[tex]\frac{c}{sin\gamma}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{a.sin\gamma}{c}[/tex] и sin[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{b.sin\gamma}{c}[/tex]

От sin[tex]\alpha[/tex]+sin[tex]\beta[/tex] =2sin[tex]\gamma[/tex] получаваме [tex]\frac{a.sin\gamma}{c}[/tex]+[tex]\frac{b.sin\gamma}{c}[/tex]=2sin[tex]\gamma[/tex]
sin[tex]\gamma[/tex].[tex]\frac{a+b}{c}[/tex]=2sin[tex]\gamma[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] a+b=2c (1)
(Ойлерови формули) tg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex]=[tex]\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}[/tex] и tg[tex]\frac{\beta}{2}[/tex]=[tex]\sqrt{\frac{(p-c)(p-a)}{p(p-b)}}[/tex]

2tg[tex]\frac{\alpha}{2}[/tex].tg[tex]\frac{\beta}{2}[/tex]=2[tex]\sqrt{\frac{(p-b)(p-c)(p-c)(p-a)}{p(p-a)p(p-b)}}[/tex] = 2.[tex]\frac{p-c}{p}[/tex]=2.[tex]\frac{\frac{a+b+c}{2}-\frac{c}{1}}{\frac{a+b+c}{2}}[/tex]=

=2.[tex]\frac{a+b-c}{a+b+c}[/tex] [ виж (1) ] =2.[tex]\frac{2c-c}{2c+c}[/tex]=2.[tex]\frac{c}{3c}[/tex]=[tex]\frac{2}{3}[/tex]