Колко решения има уравнението?

[WEBER]

Ето една задача, която реших и ми се стори интересна:

Колко решения има уравнението [tex]sinx=\frac{x}{13 }[/tex] ?

Ако някой се сеща за кратък начин нека го напише (моя излезе доста дълъг)

[ganka simeonova]

Достатъчно е да си начертаеш графиките:)

[WEBER]

Дано са точни.

Аз разсъждавах, че синуса стига най-много до 1 и най-малко до -1. проверих х/13 кога става 1(респективно -1) и видях колко пъти в този интервал х/13 пресича sinx + 0, което е решение също-общо няма да казвам колко

[ganka simeonova]

Точно така. И двете функции са нечетни и колкото пъти се пресекат за Ох+, толкова и за Ох-. Заедно с 0, стават май 9 на брой.

[WEBER]

Малко по-малко.
при [tex]x=13[/tex] дясната страна действително е 1, но лявата е някъде 0,2, значи последната им среща е някъде м/у [tex]2\pi[/tex] и [tex]3\pi[/tex]

[allier]

Има 7 корена доколкото го смятам аз - в 0, един между пи/2 и пи, един между 2пи и 5пи/2, и един между 5пи/2 и 3пи, както и съответните три отрицателни корена. Вече алгебрично с растене и намаляване лесно може да се докаже, че това са единствените.

p.s. Wolphram Alpha си каза тежката дума и сметна приблизително корените като: 0, 2.9154, 6.8369, и 8.6923

[WEBER]

Интересува ме аналитично как може да се реши. Без чертеж.

ПП 7 са, да.

[b1ck0]

То затова е трансцедентно уравнение. Няма аналитично решение, а се решава числено ...

[allier]

То не е въпросът да се реши, ами да се намери броя на корените аналитично.
Ето как:

1) От 0 до пи/2
sinx>x (учи се даже в училище това неравенство), значи само 0 може да е корен.

2) От пи/2 до пи
sin е намаляваща, линейната ф-я е растяща, значи максимум 1 корен. Разликата между двете страни на у-то е положителна в единия край, и отрицателна в другия, значи има точно един корен.

3) От пи до 2пи; от 3пи до 4пи
Няма корени - едното е положително, другото - отрицателно

4) От 4пи до 13
Няма корени - синусът е по-малък от синус от 45 в този интервал, пък линейната функция е поне 4пи/13, което е близо до 1.

5) Остава 2пи до 3пи
От 5пи/2 до 3пи е аналогично на 2) случай - линейната е растяща, синусът - намаляващ. Така че, трябва да се измисли някакво разсъждение единствено за 2пи до 5пи/2. Тук вече без производни не знам как ще се мине.

[WEBER]

То не е въпросът да се реши, ами да се намери броя на корените аналитично.

Точно така.

b1ck0, ти като си такъв специалист по транцендентните уравнения защо не решиш най-после онова твоето (viewtopic.php?f=24&t=1885) ? Знаеш ли от колко време се мъча на него.

ПП b1ck0, пише се трансцендентно. Поне така го срещам в моите учебници.

[mkmarinov]

[tex]f(x)=sinx-\frac{x}{13}[/tex] - наклонена синусоида.
[tex]f'(x)=cosx-\frac{1}{13}[/tex]
(ще разглеждам само за положителни х).
Графиката престава да пресича абцисата, когато произведението на f(x) в два поредни екстремума е положително. Петте първи екстремума са съответно в [tex]arccos(\frac{1}{13}), 2\pi - arccos(\frac{1}{13}), 2\pi + arccos(\frac{1}{13}), 4\pi - arccos(\frac{1}{13}), 4\pi + arccos(\frac{1}{13})[/tex]. Лесно може да се определи f(x) във всеки от тях, между четвъртият и петият се вижда, че няма корен. Корени има между 1/2; 2/3; 3/4 => 3 положителни корена. Нечетна функция => 3 отрицателни корена. Като се включи нулата, стават 7.

[vladislav92]

Друго решение няма ли? Това последното не сме го учили в училище, поне не и според моята учебна програма...

[vladislav92]

И сега какво? Няма ли друго решение???

[WEBER]

Че три различни не ти ли стигат? (моето на allier и на mkmarionov)

[vladislav92]

Че три различни не ти ли стигат? (моето на allier и на mkmarionov)

Ами, питам просто дали няма някакво друго решение, в случай, че не се сетя да използвам производни...