Синус и косинус на ъгъл от 0 до 180

[Гост]

Ще ви помоля да обясните по възможност най-подробния начин защо cos(180 - [tex]\alpha[/tex])= -cos[tex]\alpha[/tex] , sin(180 - [tex]\alpha[/tex])= sin [tex]\alpha[/tex], cos (90 + [tex]\alpha[/tex])=-sin[tex]\alpha[/tex],
sin (90 + [tex]\alpha[/tex]) = cos[tex]\alpha[/tex]. Изчетох толкова много материял за това и пак нищи не разбират. Много ви моля ако някой може да го обясни по най, най-простият начин, така че и малко дете да го разбере!
Благодаря предварително!

[Евва]

cos(180[tex]^\circ[/tex]-[tex]\alpha[/tex])=

=cos180[tex]^\circ[/tex].cos[tex]\alpha[/tex]+sin180[tex]^\circ[/tex].sin[tex]\alpha[/tex]=

=(-1)cos[tex]\alpha[/tex]+0.sin[tex]\alpha[/tex]=

= -cos[tex]\alpha[/tex]+0=

=- cos[tex]\alpha[/tex]

[Гост]

Отново не разбирам, сега имам още повече въпроси. Как cos(180 - [tex]\alpha[/tex]) е разликата между os180\displaystyle ^\circ
∘
.cos\displaystyle \alphaα+sin180\displaystyle ^\circ
∘
.sin\displaystyle \alphaα

От къде идва това тъждество

[Гост]

Отново не разбирам, сега имам още повече въпроси. Как cos(180 - [tex]\alpha[/tex]) = cos180.cos[tex]\alpha[/tex] + sin180.sin[tex]\alpha[/tex].
От къде идва това тъждество

[KOPMOPAH]

Тригонометрична окръжност-нова.png (17.85 KiB) Прегледано 1377 пъти

Като се говори за тригонометрични функции, трябва да се знае какво е това тригонометрична окръжност. Това е една окръжност с център началото на координатната система и радиус $1$.
Съответно "синус" и "косинус" са проекциите на единичния радиус (оцветен в зелено, за да е по-шарено ) върху осите $Oy$ и
Да започнем с косинуса, който лежи на оста $Ox$. Той е проекцията на $OC$. Ako $\measuredangle AOC=\alpha$, to $OA=AC.\cos \alpha=1.\cos \alpha=\cos \alpha$

Нататък $\measuredangle BOD=\alpha$, $\measuredangle AOD=180^\circ-\alpha$ (оранжевият ъгъл). $OB$ е проекцията на $OD$. Триъгълниците $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$ са еднакви (правоъгълни, с хипотенуза $1$ и ъгъл $\alpha$). От еднаквостта следва, че съответните им катети са равни $OB=OA$. Получихме, че$$\cos \alpha =-\cos (180^\circ-\alpha)$$

Ще продължим само, ако това дотук ти е ясно

[Добромир Глухаров]

Ще ви помоля да обясните по възможност най-подробния начин защо cos(180 - [tex]\alpha[/tex])= -cos[tex]\alpha[/tex] , sin(180 - [tex]\alpha[/tex])= sin [tex]\alpha[/tex]. Изчетох толкова много материял за това и пак нищи не разбират. Много ви моля ако някой може да го обясни по най, най-простият начин, така че и малко дете да го разбере!
Благодаря предварително!

Трябва да се имат предвид дефинициите за синус и косинус. Едните дефиниции са чрез правоъгълен триъгълник с остър ъгъл алфа. Отношението на срещулежащия катет към хипотенузата е синус от алфа, а на прилежащия катет към хипотенузата е косинус от алфа.
В случая обаче имаме обобщен ъгъл (не е задължително да е остър) и ни трябва обобщена дефиниция, която може да ни даде единичната или още наречена тригонометрична окръжност - това е окръжност с център началото на координатната система и радиус единица. Построяваме също обобщен ъгъл с връх началото на координатната система и едното рамо по оста Ох. Другото рамо пресича окръжността в точка, чиито координати ни дават - абсцисата - косинус от обобщения ъгъл и ординатата - синус от ъгъла.

sin cos.png (44.91 KiB) Прегледано 1375 пъти

П. С. Корморан ме е изпреварил с по-добро обяснение, но не ми се трие

[Гост]

А защо OB=180 - [tex]\alpha[/tex]

[KOPMOPAH]

А защо OB=180 - [tex]\alpha[/tex]

Защото $\measuredangle AOB=180^\circ$ - изправен ъгъл, $\measuredangle BOD=\alpha$ и за $\measuredangle AOD$ остава да е $180^\circ - \alpha$

[Гост]

Просто казано лъчът ом дава cos и sin