[tex]sin10 ^\circ .sin50 ^\circ .sin70 ^\circ =?[/tex]

[Гост]

[tex]sin10 ^\circ .sin50 ^\circ .sin70 ^\circ =?[/tex]

[Davids]

Идеята е почти същата като тук, така че ще караме по-напряко:

$A = \sin\frac{\pi}{18}\cdot\sin\frac{5\pi}{18}\cdot\sin\frac{7\pi}{18}$

Ползваме формула за синус от двоен ъгъл и факта, че $\sin x = \cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$ (за последните два множителя, на които съм разменил и местата, за да се онагледи идеята). Също ще умножим и разделим на $8\cos\frac{\pi}{18}$:

$A = \frac{1}{8\cos\frac{\pi}{18}}\cdot2\left[2\left(2\cos\frac{\pi}{18}\sin\frac{\pi}{18}\right)\cdot\cos\frac{2\pi}{18}\right]\cdot\cos\frac{4\pi}{18} = \frac{\sin\frac{8\pi}{18}}{8\cos\frac{\pi}{18}} = \frac{1}{8}$

[S.B.]

[tex]sin10 ^\circ .sin50 ^\circ .sin70 ^\circ =?[/tex]

Още един поглед върху задачата

[tex]\sin 10 ^\circ\sin 50 ^\circ \sin 70 ^\circ =[/tex]

[tex]= \frac{2\sin 10 ^\circ \cos 10 ^\circ }{2\cos 10 ^\circ } \sin 70 ^\circ \sin 50 ^\circ = \frac{\sin 20 ^\circ\sin(90 ^\circ - 20 ^\circ )\sin 50 ^\circ }{2\cos 10 ^\circ } = \frac{2\sin20 ^\circ \cos 20 ^\circ \sin 50 ^\circ }{4\cos 10 ^\circ } =[/tex]

[tex]= \frac{\sin 40 ^\circ \sin(90 ^\circ - 40 ^\circ) }{4\cos 10 ^\circ } = \frac{2\sin 40 ^\circ\cos 40 ^\circ }{8\cos 10 ^\circ } = \frac{\sin 80 ^\circ }{8 \cos ( 90 ^\circ - 80 ^\circ )} = \frac{\sin 80 ^\circ }{8\sin 80 ^\circ } = \frac{1}{8}[/tex]