[tex]cos(2 \pi/7)cos(3 \pi/7)cos(6 \pi/7)=?[/tex]

[Гост]

[tex]cos(2 \pi/7)cos(3 \pi/7)cos(6 \pi/7)=?[/tex]

[Davids]

Служим си с хитрост, формула за синус на двоен ъгъл и тригонометричните периоди:

$A:= \cos\frac{2\pi}{7}\cdot\cos\frac{3\pi}{7}\cdot\cos\frac{6\pi}{7} = \cos\frac{2\pi}{7}\cdot\frac{1}{2\sin\frac{3\pi}{7}}\cdot\left(2\sin\frac{3\pi}{7}\cos\frac{3\pi}{7}\right)\cdot\cos\frac{6\pi}{7} =$

$= \cos\frac{2\pi}{7}\cdot\frac{1}{2\sin\frac{3\pi}{7}}\cdot\sin\frac{6\pi}{7}\cos\frac{6\pi}{7} = \cos\frac{2\pi}{7}\cdot\frac{1}{4\sin\frac{3\pi}{7}}\cdot\left(2\sin\frac{6\pi}{7}\cos\frac{6\pi}{7}\right) = \cos\frac{2\pi}{7}\cdot\frac{1}{4\sin\frac{3\pi}{7}}\cdot\sin\frac{12\pi}{7}$

И тук влиза периода, а именно: $\sin\frac{12\pi}{7} = \sin\left(\frac{12\pi}{7} - 2\pi\right) = \sin\left(-\frac{2\pi}{7}\right) = -\sin\frac{2\pi}{7}$ и значи:

$A = -\frac{1}{4\sin\frac{3\pi}{7}}\cdot\sin\frac{2\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7} = -\frac{1}{8\sin\frac{3\pi}{7}}\cdot\sin\frac{4\pi}{7}$ и остава да забележим, че понеже $\sin x = \sin(\pi - x)$, то $\sin\frac{4\pi}{7} = \sin\frac{3\pi}{7}$ и така окончателно получаваме $\boxed{A = -\frac{1}{8}}$