Уравнение в триъгълник

[Гост]

За [tex]\triangle ABC[/tex] със страни [tex]a, b, c[/tex] и ъгли [tex]\alpha, \beta, \gamma[/tex] да се докаже, че:
[tex]\frac{sin( \beta + \frac{ \gamma }{2}) }{sin \frac{ \gamma }{2} }[/tex] = [tex]\frac{a+b}{c}[/tex]

[Евва]

Нека CL е ъглополовяща, AL=[tex]c_{1 }[/tex] и BL=[tex]c_{2 }[/tex] .
([tex]\triangle[/tex]ALC-sin T) [tex]\frac{b}{sin( \beta + \frac{ \gamma }{2}) }[/tex]=[tex]\frac{ c_{1 } }{sin \frac{ \gamma }{2} }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]c_{1 }[/tex]=[tex]\frac{bsin \frac{ \gamma }{2} }{sin( \beta+ \frac{ \gamma }{2}) }[/tex]

([tex]\triangle[/tex]LBC-sin T) [tex]\frac{ c_{2 } }{sin \frac{ \gamma }{2} }[/tex]=[tex]\frac{a}{sin[ 180 ^\circ -( \beta + \frac{ \gamma }{2} ) ]}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]c_{2 }[/tex]=[tex]\frac{asin \frac{ \gamma }{2} }{sin( \beta+ \frac{ \gamma }{2}) }[/tex]

[tex]c_{1 }[/tex]+[tex]c_{2 }[/tex]=[tex]\frac{(a+b)sin \frac{ \gamma }{2} }{sin( \beta+ \frac{ \gamma }{2} )}[/tex]

c.sin([tex]\beta[/tex]+[tex]\frac{ \gamma }{2})[/tex]=(a+b)sin[tex]\frac{ \gamma }{2}[/tex]

[tex]\frac{sin( \beta+ \frac{ \gamma }{2} )}{sin \frac{ \gamma }{2} }[/tex]=[tex]\frac{a+b}{c}[/tex]