Параметрично

[naitsirk]

Да се намерят всички стойности на реалния параметър [tex]a[/tex] , при които уравнението [tex]asinx+tgx+1=\frac{1}{cosx }[/tex] има поне едно решение [tex]x\ne2k\pi[/tex] , където [tex]k[/tex] е произволно цяло число.

Приятно решаване

[seppen]

[tex]\normal \sin{x}\cos{x}=u, \; \sin{x}+\cos{x}=v\in[-\sqrt{2};\sqrt{2}][/tex]
[tex]\normal v^2=1+2u[/tex]

[tex]\normal av^2+2v-a-2=0[/tex] с корени 1 и [tex]\normal \frac{-2-a}{a}[/tex]

При [tex]\normal a=0,-1 \Rightarrow v=1[/tex] е единствен(двоен) корен, а от условието не трябва да е.
Също така [tex]\normal \cos{x} \ne 0 \Rightarrow v \ne -1[/tex]

[tex]\normal -\sqrt{2} \le \frac{-2-a}{a} \le \sqrt{2}[/tex]

Май излиза [tex]\normal a\in(-\infty; -\frac{2}{\sqrt{2}+1}] \cup [\frac{2}{\sqrt{2}-1};+\infty)[/tex]

[naitsirk]

Точно така. Аз я решавам по подобен начин, даже направо си е същия.

[tex]a=\frac{-2}{v+1 }[/tex] и чертая графиката на дясната страна и намирам интервала за [tex]a[/tex].