Тригонометрия в триъгълник

[NikolayKolev]

Здравейте!

Имам нужда от помощ с няколко задачи.

1. Ако за ъглите на триъгълник е изпълнено равенството [tex]sin^{2 } \alpha + sin^{2} \beta + sin^{2} \gamma = 2[/tex], то триъгълникът е правоъгълен.

2. Ако за ъглите на триъгълник е изпълнено равенството [tex]cos^{2 } \alpha + cos^{2} \beta + cos^{2} \gamma = 1[/tex], то триъгълникът е правоъгълен.

3. Ако ъглите на триъгълник образуват аритметична прогресия и [tex]sin \alpha + sin \beta + sin \gamma = \frac{3+ \sqrt{3} }{2}[/tex], намерете мерките им.

Благодаря!

[NikolayKolev]

След поредното разписване успях да докажа втората задача, така че тя отпада. Ще пробвам същия подход и за първата.

[S.B.]

Здравейте!

3. Ако ъглите на триъгълник образуват аритметична прогресия и [tex]sin \alpha + sin \beta + sin \gamma = \frac{3+ \sqrt{3} }{2}[/tex], намерете мерките им.

Щом за ъглите в триъгълника е изпълнено [tex]\div \alpha , \beta , \gamma[/tex] то съществува такъв ъгъл [tex]\varphi[/tex],че [tex]\alpha = \beta - \varphi , \gamma = \beta + \varphi[/tex]
Тогава прогресията добива вида [tex]\beta - \varphi , \beta , \beta + \varphi[/tex]
Но това са ъгли на триъгълник [tex]\Rightarrow \alpha + \beta + \gamma = 180 ^\circ \Leftrightarrow \beta - \varphi + \beta + \beta +\varphi = 180 ^\circ \Leftrightarrow 3 \beta = 180 ^\circ \Rightarrow \beta = 60 ^\circ[/tex]
Сега за прогресията получихме:
[tex]\div 60 ^\circ - \varphi ,60 ^\circ , 60 ^\circ + \varphi[/tex]
Според условието:
[tex]\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = \frac{3 + \sqrt{3} }{2} \Leftrightarrow \sin(60 ^\circ - \varphi) + \sin 60 ^\circ + \sin(60 ^\circ + \varphi) = \frac{3 + \sqrt{3} }{2}[/tex]
[tex]\sin(60 ^\circ - \varphi) + \frac{ \sqrt{3} }{2}+ \sin(60 ^\circ + \varphi ) = \frac{3 + \sqrt{3} }{2} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\sin(60 ^\circ - \varphi ) + \sin(60 ^\circ + \varphi ) = \frac{3}{2} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]2\sin \frac{60 ^\circ - \varphi + 60 ^\circ + \varphi }{2}.\cos \frac{60 ^\circ - \varphi - 60 ^\circ - \varphi }{2} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow[/tex]
[tex]2 \frac{ \sqrt{3} }{2}.\cos(- \varphi) = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \cos \varphi = \frac{ \sqrt{3} }{2} \Rightarrow \varphi = 30 ^\circ[/tex]
Прогресията е [tex]\div 30 ^\circ , 60 ^\circ , 90 ^\circ[/tex]
Ъглите са:
$$ \alpha = 30 ^\circ , \beta = 60 ^\circ , \gamma = 90 ^\circ $$

[NikolayKolev]

Благодаря!