Пресметнете стойността на израза

[Евва]

cos[tex]\frac{ \pi }{15}[/tex].cos[tex]\frac{2 \pi }{15}[/tex].cos[tex]\frac{3 \pi }{15}[/tex].cos[tex]\frac{4 \pi }{15}[/tex].cos[tex]\frac{5 \pi }{15}[/tex].cos[tex]\frac{6 \pi }{15}[/tex].cos[tex]\frac{7 \pi }{15}[/tex]

[Гост]

https://www.quora.com/How-do-you-prove- ... frac-1-2-7

[Евва]

За първи път срещам тази задача .
Не зная оригиналното решение .
Искам да видя и други решения , преди да пратя своето .

[nikola.topalov]

Задачата е хубава. Искаме да намерим стойността на израза
[tex]A=\prod_{k=1}^{7} \cos \dfrac{k \pi}{15}[/tex]
Нека
[tex]B=\prod_{k=1}^{7} \sin \dfrac{k \pi}{15}[/tex]
Тогава
[tex]A\cdot B=\prod_{k=1}^{7} \cos \dfrac{k \pi}{15} \sin \dfrac{k \pi}{15}=\dfrac{1}{2^7}\prod_{k=1}^{7} 2\cos \dfrac{k \pi}{15} \sin \dfrac{k \pi}{15}[/tex]
Сега използваме формулата за удвоен ъгъл [tex]2\sin x\cos x=\sin 2x[/tex], откъдето
[tex]A\cdot B=\dfrac{1}{2^7}\prod_{k=1}^{7} \sin\dfrac{2k \pi}{15}[/tex]
От [tex]\sin(\pi - x)=\sin x[/tex] имаме
[tex]A\cdot B=\dfrac{1}{2^7}\prod_{k=1}^{7} \sin\dfrac{k \pi}{15}=\dfrac{1}{2^7}\cdot B[/tex]
Сега спокойно можем да разделим на [tex]B[/tex], понеже [tex]B\ne 0[/tex]. И така [tex]A=\dfrac{1}{2^7}[/tex].

[Евва]

Моето решение е със знания за 10 клас .

[nikola.topalov]

Моето решение е със знания за 10 клас .

То и моето май е . Просто използвам този запис за да спестя писане:
[tex]\prod_{k=1}^n a_k=a_1a_2...a_n[/tex]

[Евва]

Скрит текст: покажи

Ето и моето по-мудно решение .

cos12[tex]^\circ[/tex].cos24[tex]^\circ[/tex].cos36[tex]^\circ[/tex].cos48[tex]^\circ[/tex].cos60[tex]^\circ[/tex].cos72[tex]^\circ[/tex].cos84[tex]^\circ[/tex]=

=cos60[tex]^\circ[/tex](cos12[tex]^\circ[/tex].cos24[tex]^\circ[/tex].cos48[tex]^\circ[/tex])(cos36[tex]^\circ[/tex].cos72[tex]^\circ[/tex])cos84[tex]^\circ[/tex]=

=[tex]\frac{1}{2}[/tex].[tex]\frac{2sin12 ^\circ.cos12 ^\circ .cos24 ^\circ.cos48 ^\circ }{2sin12 ^\circ }[/tex].[tex]\frac{2sin36 ^\circ.cos36 ^\circ.cos72 ^\circ }{2sin36 ^\circ }[/tex].cos84[tex]^\circ[/tex]=

=[tex]\frac{1}{8sin12 ^\circ.sin36 ^\circ }[/tex].[tex]\frac{2sin24 ^\circ.cos24 ^\circ.cos48 ^\circ }{2}[/tex].[tex]\frac{2sin72 ^\circ.cos72 ^\circ }{2}[/tex].cos84[tex]^\circ[/tex]=

=[tex]\frac{1}{32sin12 ^\circ.sin36 ^\circ }[/tex].[tex]\frac{2sin48 ^\circ.cos48 ^\circ }{2}[/tex].sin144[tex]^\circ[/tex]cos84[tex]^\circ[/tex]=

=[tex]\frac{1}{64sin12 ^\circ .sin36 ^\circ }[/tex].sin96[tex]^\circ[/tex].cos84[tex]^\circ[/tex].sin(180[tex]^\circ[/tex]-36[tex]^\circ[/tex])=

=[tex]\frac{1}{64sin12 ^\circ.sin36 ^\circ }. \frac{2cos6 ^\circ.sin6 ^\circ }{2}[/tex].sin36[tex]^\circ[/tex]=

=[tex]\frac{1}{128sin12 ^\circ.sin36 ^\circ }[/tex].sin12[tex]^\circ[/tex].sin36[tex]^\circ[/tex]=

=[tex]2^{-7 }[/tex]