Задача от контролно

[Здравко 99]

20211116_230631.jpg (26.51 KiB) Прегледано 1484 пъти

Моля Ви за помощ !

[Knowledge Greedy]

Трябва да изясним броя на решенията на съвкупността от уравнения
[tex]\left\{\begin{matrix}
cos^2x +acosx -2a^2 =0 \\
1 -4sin^2\frac{x}{2} =0
\end{matrix}\right.[/tex]
в зависимост от параметъра [tex]a[/tex]

И тъй като второто уравнение има в интервала [tex]\left [ 0; \frac{\pi }{3} \right ][/tex] единствен корен [tex]\frac{ \pi }{3}[/tex], независимо от параметъра,
за първото уравнение трябва да осигурим такъв параметър [tex]a[/tex], че и неговият корен да е единствен ( в дадения интервал).

Решаваме квадратното уравнение [tex]t^2 +at-2a^2=0[/tex], получено от първото с полагането [tex]cosx=t[/tex]
Корените са [tex]t_1=a[/tex] и [tex]t_2=-2a[/tex]

Тъй като за [tex]x \in \left [ 0; \frac{\pi }{3} \right ][/tex] следва [tex]0 \le cosx \le \frac{1 }{2}[/tex], откъдето откриваме бързо, каква трябва да е стойността на параметъра.

[Здравко 99]

Нали стойностите на параметъра са 1/2 и -1/4 ?