НМС на ф-ята

[Гост]

Намерете най-малката стойност на ф-ята у = тг^2(x) + котг^2(x)

[Davids]

Нека $f(x) = \tg^2x + \cotg^2x$
Тогава $f'(x) = \frac{2\tg x}{\cos^2x} - \frac{2\cotg x}{\sin^2x} = \frac{2\left(\sin^4x - \cos^4x\right)}{\cos^3x\sin^3x} = \frac{2(\tg^2x - 1)}{\cos x\sin^3x}$

$\Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow |\tg x| = 1 \Leftrightarrow x \in \left\{\pm\frac{\pi}{4} + k \mid k\in \Z \right\}$

Точното множество от корените на първата произведна не е толкова интересно, по-интересното е, че понеже $\tg x$ е строго растяща навсякъде, то във всичките си корени $f'$ сменя знака си от отрицателне на положителен, т.е. всичките корени на $f'$ са локални минимуми на $f$, при все това с една и съща функционална стойност, която е и нашата търсена НМС. Та, остана да сметнем, че $\min f(x) = f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 2$

[pal702004]

Може да се използва, че $a^2+b^2 \ge 2ab$, а в случая $ab=1$

[Гост]

Отговора е 4 , аз стигам до у = 2(2-син^2(2x))/син^2(2x)

[Davids]

Отговора е 4 , аз стигам до у = 2(2-син^2(2x))/син^2(2x)

За жалост отговорът няма как да е 4, ако функцията си написал правилно във форума: $f(x) = \tg^2x + \cotg^2x$.
Предимно защото всъщност е $2$, но най-малкото защото $f(\frac{\pi}{4}) = 2 < 4$.