Малко задачки

[Гост]

Screenshot_20220127_140952_com.microsoft.office.officehubrow_edit_1091325221654829.jpg (63.55 KiB) Прегледано 947 пъти

[KOPMOPAH]

$$\sin 3x=2\sin \frac 32x \cos \frac 32 x,~~\sin 2x+ \sin x= 2 \sin \frac 32x \cos \frac 12x$$ $$2\sin \frac 32x \cos \frac 32 x=2 \sin \frac 32x \cos \frac 12x$$ $$\sin \frac 32x\left(\cos \frac 32 x-\cos \frac 12 x\right)=0$$ $$\sin \frac 32x \sin 2x \sin(- x)=0$$ $$\begin{cases}\sin \displaystyle \frac 32x = 0 \\ \sin 2x = 0 \\ \sin (-x)=0 \end{cases}$$

За втората пробвай понижаване на степен$$\sin^2 \alpha=\frac{1-\cos \ 2\alpha}2$$

[S.B.]

Зад. 3:
[tex]3\cos^{2 }x + 4\sin x\cos x + 5 \sin^{2 }x = 2[/tex]
[tex]3 \cos^{2 }x + 2 \cos^{2 } x - 2 \cos^{2 }x + 4\sin x\cos x + 5 \sin^{2 }x = 2[/tex]
[tex]5( \cos^{2 } x + \sin^{2 }x) - 2\cos^{2 } x+ 2\sin 2x = 2[/tex]
[tex]2\sin 2x -2 \cos^{2 }x + 3 = 0[/tex]
[tex]2\sin 2x - (1 + \cos 2x) + 3 = 0[/tex]
[tex]2\sin 2x - \cos 2x + 2 = 0[/tex]
Полагам :
[tex]\sin 2x = \frac{2\tg x}{1 + \tg^{2 }x } , \cos 2x = \frac{1 - \tg^{2 } x }{1 + \tg^{2 } x }[/tex]

[tex]\frac{4\tg x}{1 + \tg^{2 }x } - \frac{1 - \tg^{2 }x }{1 + \tg^{2 }x } + 2 = 0[/tex]

Полагам [tex]\tg x = t ,t \in (- \infty; + \infty )[/tex]

[tex]\frac{4t}{1 + t^{2 } } - \frac{1 - t^{2 } }{1 + t^{2 } } + 2 = 0[/tex]
[tex]4t - (1 - t^{2 }) + 2(1 + t^{2 }) = 0 \Leftrightarrow 3 t^{2 } + 4t +1 = 0,D = 4 , t_{1,2 } = \frac{-4 \pm 2}{6} \Rightarrow t_{1 } = - \frac{1}{3} , t_{2 } = -1[/tex]
Връщам субституцията :
[tex]\tg x_{1 } = - \frac{1}{3}[/tex]
[tex]x_{1 } \approx 18 ^\circ 20' + k \pi[/tex]
[tex]\tg x_{2 } = -1[/tex]
[tex]x_{2 } = 135 ^\circ + k \pi[/tex]

[S.B.]

Зад.4:
[tex]1 + \sin x\cos x - \sin x - \cos x = 0[/tex]
[tex]1 + \sin x\cos x - (\sin x + \cos x) = 0[/tex]

Полагам :
[tex]\sin x + \cos x = t \Rightarrow (\sin x + \cos x)^{2 } = t^{2 } \Leftrightarrow \sin^{2 } x + 2\sin x\cos x + \cos^{2 }x = t^{2 } \Leftrightarrow 1 + 2\sin x\cos x = t^{2 } \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{ t^{2 } - 1 }{2}[/tex]

[tex]1 + \frac{ t^{2 } - 1}{2} - t = 0 \Leftrightarrow 2 + t^{2 } - 1 - 2t = 0 \Leftrightarrow t^{2 } - 2t + 1 =0 \Leftrightarrow (t - 1)^{2 } = 0 \Rightarrow t = 1[/tex]
Връщам субституцията:
[tex]\sin x + \cos x = t \Leftrightarrow \sin x + \cos x = 1 \Leftrightarrow \sin x + \sin(90 ^\circ - x) = 1 \Leftrightarrow 2\sin 45 ^\circ \cos ( x - 45 ^\circ ) = 1[/tex]
[tex]2 \frac{ \sqrt{2} }{2} \cos(x - 45 ^\circ) = 1 \Leftrightarrow \cos(x - 45 ^\circ) = \frac{ \sqrt{2} }{2} \Rightarrow[/tex]
[tex]x - 45 ^\circ = \begin{cases} 45 ^\circ + 2k \pi \\ -45 ^\circ + 2k \pi \end{cases}[/tex]
[tex]x_{1 } - 45 ^\circ = 45 ^\circ + 2k \pi \Rightarrow x_{1 } = 90 ^\circ + 2k \pi[/tex]
[tex]x_{2 } - 45 ^\circ = - 45 ^\circ + 2k \pi \Rightarrow x_{2 } = 2k \pi[/tex]

[S.B.]

Зад.5:
[tex]4^{\sin x } + 2^{5 - 2\sin x } = 18[/tex]
[tex]2^{2\sin x } + \frac{ 2^{5 } }{ 2^{2\sin x } } = 18[/tex]

Полагам :
[tex]2^{2\sin x } = t> 0 , \sin x \in [- 1; +1][/tex]

[tex]t + \frac{32}{t} = 18 \Leftrightarrow t^{2 } - 18t + 32 = 0 , D = 14^{2 }, t_{1,2 } = \frac{18 \pm 14}{2} , t_{1 } = 16 = 2^{4 } , t_{2 } = 2 = 2^{1 }[/tex]

Връщам субституцията:
[tex]2^{2\sin x_{1 } } = t_{1 } \Leftrightarrow 2^{2\sin x_{1 } } = 2 \Leftrightarrow 2\sin x_{1 } = 1 \Rightarrow \sin x_{1 } = \frac{1}{2}[/tex]
[tex]x_{1 } = \begin{cases} 30 ^\circ + 2k \pi \\ - 30 ^\circ + (2k + 1) \pi \end{cases}[/tex]

[tex]2^{2\sin x_{2 } } = t_{2 } \Leftrightarrow 2^{2 \sin x_{2 } } = 2^{4 } \Rightarrow 2\sin x_{2 } = 4 \Rightarrow \sin x_{2 } = 2 >1 \Rightarrow[/tex] не е решение
$$x_{1 } = 30 ^\circ + 2к \pi ; x_{2 } = - 30 ^\circ + (2к + 1) \pi $$

[Гост]

Много ви благодаря!!!!

[nikola.topalov]

Третата задача можем да решим и така: Представяме [tex]2[/tex] като [tex]2\sin^2 x+2\cos^2 x[/tex] и след опростяване получаваме уравнението $$\cos^2 x+4\sin x\cos x+3\sin^2 x=0$$ Делим и двете страни на [tex]\sin^2 x[/tex], като първо показваме, че за [tex]x=k\pi[/tex], [tex]k\in\mathbb{Z}[/tex], уравнението не е изпълнено. И така $$\cotg^2 x+4\cotg x+3=0$$ откъдето след полагане на [tex]t=\cotg x[/tex] стигаме до квадратното уравнение [tex]t^2+4t+3=0[/tex]...

[nikola.topalov]

...Полагам :
[tex]\sin x + \cos x = t[/tex]...

И все пак да не забравяме, че [tex]t[/tex] има и ДС: [tex]-\sqrt{2}\leq t\leq\sqrt{2}[/tex]