Уравнение

[Гост]

sinx+sin3x= sin2x+sin4x

[peyo]

sinx+sin3x= sin2x+sin4x

Тук веднага можем да видим 2 групи от решения вв точките където sin е 0. Това са x=0 и x=[tex]\pi[/tex]. Така отговор е:

$x = 0 + 2k\pi$
и
$x = \pi + 2k\pi$
Които можем да обединим в една група:

$x = k\pi$ , $ k = 0,1,2...$

Остава да намерим дали има и други решения които не са толкова очевидни.

Ако погледнем графиката явно има и такива решения:

jhdhfgjhdgjhsdgs.png (35.19 KiB) Прегледано 1313 пъти

[S.B.]

sinx+sin3x= sin2x+sin4x

[tex]\sin x + \sin 3x = \sin 2x + \sin 4x \Leftrightarrow[/tex]

[tex]2\sin \frac{x + 3x}{2} \cos \frac{x - 3x}{2} = 2\sin \frac{2x + 4x}{2}\cos \frac{2x - 4x}{2} = 0 \Leftrightarrow \sin 2x\cos x = \sin 3x \cos x \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\cos x( \sin 2x - \sin 3x) = 0[/tex]

[tex]\cos x = 0[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]\sin 2x - \sin 3x = 0[/tex]
[tex]\cos x = 0 \Rightarrow x = (2k + 1) \frac{ \pi }{2}[/tex]
[tex]\ sin 2x - \sin 3x = 0 \Leftrightarrow 2\sin \frac{2x - 3x}{2}\cos \frac{2x + 3x}{2} = 0 \Leftrightarrow -\sin \frac{x}{2} \cos \frac{5x}{2} = 0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]- \sin \frac{x}{2} = 0[/tex] [tex]\cup[/tex] [tex]\cos \frac{5x}{2} = 0[/tex]

[tex]- \sin \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow \ sin (- \frac{x}{2}) = 0 \Rightarrow - \frac{x}{2} = k \pi \Rightarrow x = -2k \pi[/tex]
[tex]\cos \frac{5x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{5x}{2} = (2k + 1) \frac{ \pi }{2} \Rightarrow x = \frac{2(2k + 1)}{5} \frac{ \pi }{2}[/tex]