Някакво решение ?

[Гост]

.

[S.B.]

[tex]2(\sin x + \cos x) + \sin 2x + 1 = 0[/tex]

Нека [tex]\sin x + \cos x = t[/tex]
[tex]x \in [ - \frac{ \pi }{2}; \frac{ \pi }{2} ] \Rightarrow t \in [-1; 1][/tex]
[tex](sin x + \cos x)^{2 } = t^{2 } \Leftrightarrow \sin^{2 } x + 2\sin x\cos x + \cos^{2 }x = t^{2 } \Leftrightarrow 1 + \sin 2x = t^{2 } \Rightarrow \sin 2x = t^{2 } - 1[/tex]

[tex]2(\sin x + \cos x) + \sin2x + 1 = 0 \Leftrightarrow 2t + t^{2 } -1 + 1 = 0 \Leftrightarrow 2t + t^{2 } = 0 \Leftrightarrow t(t + 2) = 0[/tex]
[tex]t(t + 2) = 0 \Rightarrow t_{1 } = -2 \notin[/tex]Д.М. , [tex]t_{2 } = 0 \in[/tex] Д.М.
[tex]t = 0 \Rightarrow \sin x + \cos x = 0 \Leftrightarrow \sin x + \sin( \frac{ \pi }{2} - x) = 0 \Leftrightarrow 2\sin \frac{ \pi }{4}\cos(x - \frac{ \pi }{4}) = 0 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\sqrt{2}\cos (x - \frac{ \pi }{4}) = 0 \Rightarrow[/tex]

1)
[tex]x - \frac{ \pi }{4} = \frac{ \pi }{2} \Rightarrow x = \frac{3 \pi }{4} \notin [ \frac{ \pi }{4}; - \frac{ \pi }{4}][/tex]

2)
[tex]x - \frac{ \pi }{4} = - \frac{ \pi }{2} \Rightarrow x = - \frac{ \pi }{4}[/tex]

Отг. б)

[S.B.]

Нека [tex]\sin x + \cos x = t[/tex]
[tex]x \in [ - \frac{ \pi }{2}; \frac{ \pi }{2} ] \Rightarrow t \in [-1; 1][/tex]

Извенявам се за грешката при определяне на Д.М. на $t$
Да се чете:
Д.М. [tex]t \in [- \sqrt{2} ; \sqrt{2}][/tex]